M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

18

Reálná funkce jedné reálné proměnné

Obrázek 2.5:

Příklad 2.3.4: Je dána funkce f : y = 3x2 − 4x + 1. Vyjádřete a upravte podíl

f (a + h) − f (a)

h

pro

h 6= 0.

Řešení:

f (a + h) − f (a)

h

=

3(a + h)2 − 4(a + h) − 1 − 3a2 + 4a − 1)

h

=

=

6ah + 3h2 − 4h

h

= 6a + 3h − 4

pro

h 6= 0.

Cvičení 2.3.2: Řešte příklady:

1) Určete definiční obor funkce f : y =

√

6 − x − 12x2.

2) Je dána funkce f : y = 2x2 + 3x − 4. Vyjádřete a upravte podíl

f (a + h) − f (a)

h

pro

h 6= 0.

———————————————————————————————————

2.4 Základní vlastnosti funkcí

19

2.4

Základní vlastnosti funkcí

Označíme D(f ) definiční obor funkce f a M ⊂ D(f ), kde M má alespoň dva prvky.
Základní vlastnosti funkcí si připomeneme tabulkou:

vlastnost

podmínka

příklad

1. f je shora ohraničená na M existuje číslo k ∈ R

-

x

6

y

y = k

f

M = h0, ∞)

takové, žef (x) ≤ k
pro všechna x ∈ M

2. f je zdola ohraničená na M

existuje číslo h ∈ R

-

x

6

y

y = h

f

M = (−∞, 1)

takové, žef (x) ≥ h
pro všechna x ∈ M

3. f je ohraničená na M

existují čísla h, k ∈ R

- x

6

y

y = h

y = k

f

M = R

taková, že h ≤ f (x) ≤ k
pro všechna x ∈ M

4. f je rostoucí na M

pro všechna x1, x2 ∈ M

- x

6

y

f

x1

f (x1)

x2

f (x2)

M = R

s vlastností x1 < x2
platí f (x1) < f(x2)

5. f je klesající na M

pro všechna x1, x2 ∈ M

-

x

6

y

f

x1 x2

M = R

s vlastností x1 < x2
platí f (x1) > f(x2)

———————————————————————————————————

20

Reálná funkce jedné reálné proměnné

vlastnost

podmínka

příklad

6.

f je neklesající na M pro všechna x1, x2 ∈ M