M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

Absolutní hodnota reálného čísla

f (x) = |x| = max{x, −x} =

x

pro

x > 0,

0

pro

x = 0,

−x

pro

x < 0.

Pro všechna x1, x2 ∈ R platí

|x1| ≥ x1,

|x1 + x2| ≤ |x1| + |x2|,

||x1| − |x2|| ≤ |x1 − x2| ≤ |x1| + |x2|,

|x1 · x2| = |x1| · |x2|,

|x1

x2 | =

|x1|
|x2| , pokud x2 6= 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Příklad 2.2.1: Nakreslete graf funkce f : y = |2 − x| − |2x − 9|.

Řešení: Číselnou osu rozdělíme nulovými body (kořeny) výrazů v absolutních

hodnotách na intervaly, v nichž tyto výrazy nemění znaménko.

-

`a

2

`a

9
2

+

−

−

znam (2 − x)

-

`a

2

`a

9
2

−

−

+

znam (2x − 9)

Podle definice absolutní hodnoty v intervalu (−∞, 2i je |2 − x| = 2 − x,

|2x − 9| = −(2x − 9) = 9 − 2x a tedy celkem dostáváme:

x ∈ (−∞, 2i =⇒ f1 : y = 2 − x + 2x − 9 = x − 7.

Analogicky ve zbývajících intervalech platí:

x ∈ (2, 9/2i =⇒ f2 : y = x − 2 + 2x − 9 = 3x − 11,

x ∈ (9/2, ∞) =⇒ f3 : y = x − 2 − 2x + 9 = −x + 7.

———————————————————————————————————

2.3 Složená funkce

15

Obrázek 2.3:

Cvičení 2.2.2: Nakreslete grafy funkcí

a) f (x) = |2 + x| + |3x − 1|,
b) g(x) = |2x − 1| − |3 + 2x|,
c) k(x) = |x2 − 1|.

Úmluva. Pokud nebude řečeno jinak, budeme v dalším pod stručným
označením funkce vždy rozumět reálnou funkci jedné reálné proměnné.
Namísto označení f : y = f (x) budeme také mnohdy užívat zápis pouze
funkčního předpisu, např. místo f : y = x2 použijeme zápis f (x) = x2. Po-
kud nebudeme potřebovat zdůraznit, že jde o funkci f, pak také použijeme
zápisy y = x2 nebo x 7→ x2.