M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

(−∞, 0)

(−∞, −1/2i

(−1/2, ∞)

6.

f je prostá v

D(f )

(−∞, −1)

(−∞, −1/2)

2.5

Parametrické zadání funkce

V některých aplikacích se ukazuje, že je nevýhodné pracovat s funkcemi zadanými
explicitně. Přitom se nám mnohdy podaří vyjádřit kartézské souřadnice [x, y]
bodů grafu jako funkce nějaké nové proměnné t, kterou pak obvykle nazýváme
parametrem.

Mějme funkci f, jejímž grafem je čtvrtkružnice ležící v 1. kvadrantu se
středem v počátku a poloměrem r = 2. Zvolme si za parametr t úhel,
který svírá úsečka určená body O, P s kladným směrem osy x.

———————————————————————————————————

22

Reálná funkce jedné reálné proměnné

-

x

6

y

O

2

¡

¡

¡

¡¡

P

2

·

t

Pak pro kartézské souřadnice [x, y] bodů grafu funkce f platí x = 2 cos t,
y = 2 sin t. Pro bod A = [2, 0] dostáváme parametr t = 0, pro bod
B = [0, 2] je hodnota parametru t = π/2. Zadáme-li tedy funkce
x = 2 cos t, y = 2 sin t a interval h0, π/2i pro parametr t, pak mno-
žina bodů [x, y] ∈ E2 takto určená je grafem funkce f a říkáme, že
funkce f je zadána parametricky. Je vhodné si uvědomit, že pokud bychom
uvažovali tytéž funkce x = 2 cos t, y = 2 sin t na oboru parametrů např.
h0, 2πi, pak grafem je celá kružnice, a protože se nejedná o graf funkce,
nelze hovořit ani o parametrickém zadání funkce. V tomto případě hovo-
říme o tzv. parametrickém zadání křivky. Všimněme si také toho, že pro
body grafu funkce f (zvolená čtvrtkružnice) platí x2 + y2 = 4 a funkce f
má proto explicitní vyjádření f : y =

√

4 − x2, x ∈ h0, 2i. Kdybychom nyní

dosadili do tohoto předpisu x = 2 cos t z parametrického vyjádření, pak pro
y vyjde požadovaný vztah y = 2 sin t, a to pro všechna t ∈ h0, π/2i.