M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

x0

-

g

u0 = g(x0)

-

f

y0 = f(u0)

-

h

(ιι) Na příkladech si ukážeme, jak je možné ze známých grafů některých
elementárních funkcí získat grafy složitějších funkcí. Uvažujme například
kvadratickou funkci y = −2x2 + 4x + 1, x ∈ R, a zkusme nalézt její graf.
Úpravami dostaneme y = −2(x − 1)2 + 3 a graf pak můžeme postupně ob-
držet v krocích a), b), c), d), e) viz obrázek 2.4.

(ιιι) Podobně postupujme v případě funkce y = (2x + 3)/(x + 1), x 6= 1.
Můžeme psát y = 2 + 1/(x + 1), pomocí posunutí grafu funkce 1/x o jed-
notku doleva ve směru osy x a o 2 jednotky ve směru osy y získáme hledaný
graf (viz obrázek 2.5).

———————————————————————————————————

2.3 Složená funkce

17

Obrázek 2.4:

Příklad 2.3.2: Určete definiční obor funkce f : y =

√

2x2 − 5x − 3.

Řešení: Máme určit taková reálná čísla, pro která platí 2x2 − 5x − 3 ≥ 0.

Vypočítáme-li kořeny (nulové body) polynomu 2x2 − 5x − 3, dostaneme rozklad
2x2 −5x−3 = (2x+1)(x−3) a řešením nerovnice (2x+1)(x−3) ≥ 0 je sjednocení
intervalů (−∞, −1/2i a h3, ∞). Tedy D(f ) = (−∞, −1/2i ∪ h3, ∞).

Příklad 2.3.3: Zjistěte, zda se rovnají funkce

f : y =

4x2 − 9

2x + 3

,

g : y = 2x − 3

na svých přirozených definičních oborech.

Řešení: Ačkoliv je možno funkční předpis pro funkci f formálně upravit

4x2 − 9

2x + 3

=

(2x + 3)(2x − 3)

2x + 3

= 2x − 3,

je jasné, že poslední rovnost platí pouze pro x 6= −3/2. Definiční obory funkcí
f, g jsou D(f ) = R − {−3/2}, D(g) = R a funkce f 6= g.

———————————————————————————————————