M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

Znalost explicitního vyjádření funkce f nám umožňuje i tzv. přirozenou

parametrizaci, kdy za parametr t zvolíme nezávisle proměnnou x a pro závisle
proměnnou dostaneme z explicitního vyjádření předpis y =

√

4 − t2, t ∈ h0, 2i.

Definice 2.5.1: Obecně pak řekneme, že funkcemi x = g(t), y = h(t), definova-
nými na oboru parametrů M ⊂ R, je určená parametricky funkce f , jestliže
množina všech bodů [x, y] ∈ E2 takových, že x = g(t), y = h(t), t ∈ M, je grafem
funkce.

4

Další často se vyskytující křivkou je elipsa, jejíž některé části jsou opět
grafy funkcí. Z konstrukce elipsy je známo (viz deskriptivní geometrie),
že body elipsy můžeme získat jako průsečíky kolmice vedené bodem P
na hlavní osu a kolmice vedené bodem R na vedlejší osu. Ze získaných
pravoúhlých trojúhelníků pak již lehce získáme předpisy pro souřadnice
[x, y] bodu Q, platí x = a cos t, y = b sin t. Zvolíme-li za množinu parame-
trů interval h0, πi, pak dostaneme parametrické vyjádření funkce f, jejímž
grafem je část elipsy nad osou x.

Poznámka: Zkontrolujte si, zda průsečíkům A, D, C horní části elipsy
se souřadnicovými osami odpovídají parametry z intervalu h0, πi.

———————————————————————————————————

2.5 Parametrické zadání funkce

23

Obrázek 2.6:

Poznámka: Zjistěte, zda uvedené předpisy vyhovují explicitnímu vy-
jádření funkce f : y = b

a

√

a2 − x2.

Uvedeme si ještě jednu křivku, která se často vyskytuje v aplikacích. Jde
o tzv. prostou cykloidu, kterou opisuje pevný bod kružnice, která se (bez
skluzu) kutálí po přímce (viz obrázek 2.7) Zvolíme-li si za parametr t veli-
kost úhlu, o který se otočí kružnice při přechodu zvoleného bodu z polohy
P0 do polohy P, pak dostáváme pro souřadnice [x, y] bodu P vyjádření