M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

2.6 Inverzní funkce

27

Příklad 2.6.2: Určete inverzní funkci k funkci g = f |M, kde M je „největšíÿ
podmnožina definičního oboru funkce f : y = x2 − 2, v níž je f prostá.

Řešení: Z Obr. 2.9 vidíme, že existují rovnoběžky s osou x, které protínají graf

ve dvou bodech. Funkce f tedy není v D(f ) = R prostá. Můžeme se o tom pře-
svědčit také „algebraickyÿ. Z rovnice y = x2−2 dostáváme |x| =

√

y + 2. Zvolíme-

li například y1 = 7, pak rovnici |x| =

√

9 vyhovují čísla x1 = 3, x2 = −3. Zúžíme-li

však funkci f například na interval h0, ∞), dostaneme funkci g1 = f|h0,∞), která
je již prostá a můžeme tedy k ní určit funkci inverzní. Protože x ∈ h0, ∞), je
|x| = x a tedy x =

√

y + 2. Odtud g−1

1

: y =

√

x + 2. Přitom

g1 : h0, ∞) −→ h−2, ∞),

g−1

1

: h−2, ∞) −→ h0, ∞).

Tomu odpovídají následující grafy na Obr. 2.10.

Obrázek 2.10:

Cvičení 2.6.1:

a) Pro funkci f : y = x2 − 2 určete g−1

2 , kde g2 = f |(−∞,0i a načrtněte grafy

funkcí g2 a g−1

2 .

b) Určete inverzní funkce (existují-li) k funkcím

1) f (x) = 2 −

√

x,

2) h(x) = 2x3 − 1
(na jejich přirozených definičních oborech).

———————————————————————————————————

28

Reálná funkce jedné reálné proměnné

2.7

Polynomy a racionální funkce

2.7.1

Polynomy

Pro rozklady racionálních funkcí na parciální zlomky a určování znaménka funkč-
ních hodnot budeme potřebovat umět rozkládat polynomy na součiny polynomů
„co možná nejnižších možných stupňůÿ. Přitom půjde o tzv. reálné polynomy,
kterými budeme rozumět reálné funkce definované v R, mající funkční předpisy
tvaru

f (x) = Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 =