M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

———————————————————————————————————

32

Reálná funkce jedné reálné proměnné

an

an−1 an−2 . . . a1 a0

x = c

bn−1 bn−2

bn−3

. . .

b0

d = Pn(c)

kde

bn−1 = an,
bn−2 = cbn−1 + an−1,
bn−3 = cbn−2 + an−2,

..

.
b0 = cb1 + a1,
d = cb0 + a0.

Je vidět, že se s touto tabulkou pohodlně pracuje a lehce se určí koeficienty
polynomu Hn−1.
O platnosti těchto vztahů bychom se mohli přesvědčit například tak, že v rovnosti
Pn(x) = (x − c)Hn−1 + d, porovnáme koeficienty u odpovídajících mocnin.

Příklad 2.7.2: Určete rozklad polynomu (v reálném oboru)

P5(x) = 2x5 + x4 − 5x3 + x2 − x + 2.

Řešení: Má-li polynom celočíselné kořeny, pak tyto kořeny dělí koeficient

a0 = 2. Mohou to být tedy čísla 1, −1, 2, −2. Použijeme Hornerovo schéma

2 1 -5 1

-1 2

x = 1

2 3 -2 -1 -2 0 x = 1 je kořen,

P5(x)=(x−1)(2x4+3x3−2x2−x−2)=(x−1)H4(x)

x = 1

2 5 3

2

0

x = 1 je opět kořen,
H4(x)=(x−1)(2x3+5x2+3x+2)=(x−1)H3(x)

x = −1 2 3 0

2

-2

x = −1 není kořen

x = −2 2 1 1

0

x = −2 je kořen
H3(x)=2x3+5x2+3x+2=(x+2)(2x2+x+1)

Výsledek je P5(x) = (x − 1)2(x + 2)(2x2 + x + 1).

Příklad 2.7.3: Určete rozklad polynomu P4(x) = 4x4 + 3x2 + 1.

Řešení: Je jasné, že polynom nemá reálné kořeny. Zkusíme ho rozložit na

součin polynomů 2. stupně užitím úprav (bez výpočtu komplexních kořenů). Jistě
platí P4(x) = (2x2 + 1)2 − x2 = (2x2 + x + 1)(2x2 − x + 1).

Znaménko polynomu

Při vyšetřování průběhu funkcí budeme potřebovat často určit znaménko poly-
nomu. Je vidět, že na změnu znaménka polynomu mají vliv pouze reálné kořeny
liché násobnosti.

———————————————————————————————————