M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

Uvedeme si ještě přehled kořenových vlastností reálných polynomů

Pn(x) = anxn + · · · + a1x + a0 stupňů n ≥ 1 :

• V oboru C má každý polynom n–tého stupně právě n kořenů (při-

čemž každý kořen je počítán tolikrát, jaká je jeho násobnost) a platí
Pn(x) = an(x − x1) · . . . · (x − xn). Jde o tzv. rozklad polynomu na sou-
čin kořenových činitelů.

• S každým k–násobným kořenem a+ib má polynom také k–násobný kořen

a − ib.

• Polynom lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen.

• Má-li polynom Pn celočíselné koeficienty ai ∈ Z, i = 0, . . . , n, a je-li celé

číslo p kořenem polynomu Pn, pak p dělí koeficient a0.

• Pn(x) = an(x−x0)k1·. . .·(x−xr)kr·((x−a1)2+b21)l1·. . .·((x−as)2+b2s)ls, kde

polynom Pn má reálné kořeny x0, . . . , xr násobností k1, . . . , kr, komplexní
kořeny a1 + b1i, . . . , as + bsi násobností l1, . . . , ls, přičemž k1 + . . . + kr+
+2l1 + . . . + 2ls = n. Jde o tzv. rozklad v reálném oboru.

√√

Komentář 2.7.1:

1. Je vhodné si uvědomit, že pro nalezení rozkladu polynomu v reálném oboru stačí,

abychom zadaný polynom rozložili na součin polynomů tvaru
(ex + d)k, e 6= 0, k ∈ N; (ax2 + bx + c)l, a 6= 0, l ∈ N, D = b2 − 4ac < 0.
Za rozklad v reálném oboru tedy můžeme například považovat součin

(2x + 1)3(3x − 4)2(2x2 + x + 1)(3x2 + 5)2.

2. Pro hledání celočíselných kořenů můžeme také využít tzv. Hornerova schématu.

Dělíme-li polynom Pn polynomem x − c, pak platí Pn(x) = (x − c)Hn−1(x) + d,
přičemž pro koeficienty polynomu Hn−1(x) = bn−1xn−1 + · · · + b1x + b0 platí
schéma