M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

n

X

k=0

akxk,

ak ∈ R, k = 0, 1, . . . , n. Čísla ak nazýváme koeficienty polynomu, číslo a0 se často
nazývá absolutním členem, nejvyšší mocninu n = stf nazýváme stupněm
polynomu a přitom předpokládáme, že koeficient an 6= 0.

V dalším textu budeme pracovat pouze s reálnými polynomy a přitom bu-

deme zkráceně hovořit jen o polynomu. Připomeňme si některé základní operace
s polynomy, s nimiž jste se seznámili již na střední škole.

Mějme polynomy f : y = Pn(x) =

P

n
k=0 akx

k, g : y = Qm(x) =

P

n
l=0 blx

l. Pak

definujeme

f (x) + g(x) =

n

X

k=0

(ak + bk)xk pro n ≥ m

(sčítáme koeficienty u odpovídajících si mocnin),

rf (x) =

n

X

k=0

rakxk pro r ∈ R,

f (x) · g(x) =

n+m

X

k=0

ckxk, kde ck =

k

X

i=0

aibk−i

(násobíme postupně každý sčítanec prvního polynomu všemi sčítanci druhého
polynomu). Zřejmě platí

st(f + g) ≤ max(stf, stg),

st(f · g) = stf + stg.

Ukážeme si tyto jednoduché operace na příkladě. Mějme polynomy

f (x) = 4x3 + 8x2 − x − 2, g(x) = 2x + 1.

Pak

f (x) + g(x) = 4x3 + 8x2 + x − 1,

———————————————————————————————————

2.7 Polynomy a racionální funkce

29

f (x) · g(x) = (4x3 + 8x2 − x − 2) · (2x + 1) =

= 8x4 + 4x3 + 16x3 + 8x2 − 2x2 − x − 4x − 2 = 8x4 + 20x3 + 6x2 − 5x − 2.

Důležitými operacemi s polynomy jsou:

Dělení polynomů: Platí následující tvrzení:

Tvrzení: Jsou-li Pn, Qm polynomy stupňů n ≥ m > 0, pak existují právě dva
polynomy Hn−m, Rj (stupňů n − m, 0 ≤ j < m), pro které platí

Pn = Qm · Hn−m + Rj, tj.

Pn

Qm

= Hn−m +

Rj

Qm

, pokud Qm(x) 6= 0.

Proto používáme pro polynomy názvy: Qm –dělitel, Hn−m –podílový polynom,