M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

Uvažujeme-li například rovnoměrně zrychlený pohyb s nulovou počáteční

rychlostí, pak pro dráhu platí s = 1

2 at

2. Bude-li dráha známá konstantní veli-

čina, pak pro zrychlení dostaneme závislost na čase ve tvaru a = 2s/t2. Pokud
budeme naopak zjišťovat čas, pak závislost na zrychlení při známé dráze bude
tvaru t =

p

2s/a2.

———————————————————————————————————

2.6 Inverzní funkce

25

Příklad 2.6.1: Zabývejme se nyní podrobněji těmito otázkami z matematic-
kého hlediska. Mějme například funkci f : y = x/3 + 2, x ∈ h−3, 6i. Je jasné, že
funkce f zobrazuje interval h−3, 6i na interval h1, 4i a grafem funkce f je úsečka.
Vyjádříme-li z funkčního předpisu proměnnou x, pak získáme předpis x = 3y − 6,
který určuje novou funkci g, která každému y z intervalu h1, 4i přiřadí právě
takové x z intervalu h−3, 6i, pro které platí y = x/3 + 2. Funkci g nazýváme
inverzní k funkci f a píšeme g = f −1. Přitom dostáváme

g(f (x)) = 3

³x

3

+ 2

´

− 6 = x pro x ∈ h−3, 6i,

f (g(y)) =

3y − 6

3

+ 2 = y pro y ∈ h−1, 4i,

graficky:

Obrázek 2.8:

eventuálně:

x

f

7−→ y

f −1

7−→ x; y

f −1

7−→ x

f

7−→ y,

f : h−3, 6i −→ h1, 4i, f −1 : h1, 4i −→ h−3, 6i.

Chceme-li zakreslit grafy funkcí f a f −1 do téže kartézské soustavy souřadnic

hO; x, yi, pak je zapotřebí ve funkčních předpisech nezávisle proměnnou označit
písmenem x a závisle proměnnou písmenem y. Proto v zápisu f −1 : x = 3y − 6
provedeme záměnu proměnných x a y a budeme psát f −1 : y = 3x−6. Z vlastností

[a, b] ∈ Gr f ⇐⇒ [b, a] ∈ Gr f −1