M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

2.3

Složená funkce

V matematické analýze i v technických oborech se budete převážně setkávat
s komplikovanějšími funkcemi, které lze získat tzv. skládáním funkcí. Dosadíme-
li totiž za nezávisle proměnnou u ve funkčním předpisu y = f (u) pro funkci f
vyjádření závisle proměnné u z funkčního předpisu u = g(x) pro funkci g, pak
dostaneme funkční předpis pro tzv. složenou funkci h = f (g) = f ◦ g, pro
kterou platí

h : y = f (g(x)).

Funkci f nazýváme vnější složkou, funkci g vnitřní složkou složené funkce
h. Je-li například f : y = ln u, g : u = sin x, pak pro složenou funkci h = f (g)
platí h : y = ln sin x. V konkrétních úlohách na skládání funkcí je často nezávisle
proměnná označována stále písmenem x a závisle proměnná písmenem y, i když
jde o různé funkční předpisy.

———————————————————————————————————

16

Reálná funkce jedné reálné proměnné

Příklad 2.3.1: Určete funkční předpisy pro složené funkce h = f (g),
k = g(f ), jestliže

a) f (x) =

√

x, g(x) = sin x,

b) f (x) = x3, g(x) =

x − 1
x + 1

.

Řešení:

a) h : y =

√

sin x, k : y = sin

√

x, b) h : y =

µ

x − 1
x + 1

¶3

, k : y =

x3 − 1
x3 + 1

.

Cvičení 2.3.1: Určete funkční předpisy pro h = f (g), k = g(f ), je-li

a) f (x) =

√

x − 1, g(x) = x3 + 1, b) f (x) =

x

2 − x

, g(x) = 2 + ex.

√√

Komentář 2.3.1:

(ι) Chceme-li zjistit přirozený definiční obor složené funkce h = f (g), pak
musíme určit taková x ∈ R, pro která má funkční předpis y = f (g(x))
smysl. Jde zřejmě o taková x z D(g), pro něž g(x) ∈ D(f ). Je-li například
h : y = ln sin x, pak z definičního oboru funkce sinus musíme vzít pouze
taková x, pro která sin x > 0, neboť pak bude také definována funkční hod-
nota ln sin x. Protože sinus je kladný v intervalech tvaru (2kπ, (2k + 1)π),
k ∈ Z, můžeme psát D(h) = ∪k∈Z(2kπ, (2k + 1)π).
Při výpočtu limit, derivací a integrálů budeme naopak rozkládat zadané
složené funkce na složky. Způsob rozkladu bude závislý na konkrétní řešené
úloze. Jednu z variant rozkladu si můžeme přiblížit na výpočtu funkčních
hodnot na kalkulačce, například pří výpočtu funkční hodnoty h(9) funkce
h : y = ln sin x. Nejprve vypočteme u0 = sin x0 = sin 9 a pak teprve
y0 = ln u0 = ln sin x0 = ln sin 9. Symbolicky