Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
vypočítat tak, že do vzorce ( )
( )
0
0
x
x
x
f
x
f
−
−
přímo dosadíme x takové, které se bude rovnat
0
x , ihned narazíme na problém, že ve jmenovateli nám vznikne 0. Pro takové případy
jsme se v předchozí kapitole vybavili silným nástrojem – limitou. Jelikož kýžený
výsledek nejsme schopni spočítat přímo jako funkční hodnotu, použijeme limitu:
směrnice tečny =
( ) ( )
0
0
0
lim
x
x
x
f
x
f
x
x
−
−
→
42
Tento vzorec si určitě zapamatujte! Důvod je prostý: Právě jsme si totiž odvodili oficiální
definici směrnice tečny k funkci f v bodě o souřadnici
0
x , tedy jde o oficiální definici
derivace funkce f v bodě
0
x .
Pojďme si nyní ukázat použití tohoto vzorce na konkrétním příkladu:
Zadání: Mějme funkci
2
)
(
x
x
f
=
. Našim úkolem nyní bude vypočíst směrnici tečny k této
funkci v bodě o souřadnici
3
0 =
x
.
Řešení: Víme, že směrnice tečny k funkci f v bodě o souřadnici
0
x (neboli derivace
funkce f v bodě
0
x ) se vypočítá jako
( ) ( )
0
0
0
lim
x
x
x
f
x
f
x
x
−
−
→
. Proto si vypišme jednotlivé
prvky obsažené v tomto vzorci a poté si je do vzorce konkrétně dosaďme:
x je x
3
0 =
x
2
)
(
x
x
f
=
9
3
)
(
2
0
=
=
x
f
Po dosazení: derivace v bodě
3
0 =
x
se vypočte jako
3
9
lim
2
3
−
−
→
x
x
x
. Proveďme vlastní
výpočet s úpravami:
6
3
3
3
lim
3
)
3
)(
3
(
lim
3
9
lim
3
3
2
3
=
+
=
+
=
−
+
−
=
−
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Odpověď: Směrnice tečny k funkci
2
)
(
x
x
f
=
v bodě o souřadnici