Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
45
Je velmi důležité, aby si čtenář uměl představit vzájemný vztah funkce a
její obecné derivace graficky. Proto prosím věnujte maximální pozornost následujícím
odstavcům. Docela dobře je takový vztah vidět například na vzájemném vztahu funkce
)
sin(x a její obecné derivace
)
cos(x . Pečlivě si nyní prohlédněte grafický průběh těchto
dvou funkcí – funkce
)
sin(
)
(
x
x
f
=
a její obecné derivace
)
cos(
)
(
'
x
x
f
=
.
Na grafu vidíme, že v bodě
0
=
x
funkce sinus stoupá – při shodné kalibraci os x a y má
tečna v tomto bodě úhel 45˚. Její směrnice je proto v počátku rovna jedné, neboli
derivace funkce f je v tomto bodě rovna jedné. Proto je také
funkční hodnota její obecné derivace
'
f v tomto bodě rovna
jedné, neboli
1
)
0
(
'
=
f
(víme, že
1
)
0
cos(
= ). Ve svém dalším
průběhu v intervalu mezi
∈
2
;
0
π
x
funkce f stoupá stále
méně a proto směrnice její tečny bude menší než jedna. To
znamená, že v tomto intervalu klesá funkční hodnota funkce '
f . V bodě
2
π
=
x
je tečna
k funkci f vodorovná, neboli její směrnice je rovna nule. Proto je v tomto bodě rovna
nule funkční hodnota obecné derivace, neboli
0
2
'
=
π
f
. Další průběh funkce v intervalu
∈
π
π
;
2
x
je klesající, směrnice tečny v tomto intervalu je tedy záporná. Proto má i
funkce '
f v tomto intervalu záporné funkční hodnoty. V bodě