Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
limitě podílu jejich obecných derivací. Matematicky můžeme pravidlo zapsat včetně
vstupní podmínky uvedené v předchozí podkapitole takto:
'
'
lim
lim
0
0
v
u
v
u
x
x
x
x
→
→
=
|
±∞
=
∨
=
∧
=
→
→
→
v
v
u
x
x
x
x
x
x
0
0
0
lim
)
0
lim
0
lim
(
Princip tedy využívá toho, že derivováním čitatele i jmenovatele se můžeme zbavit
nežádoucího nekonečna v lomené funkci či nepřijatelné nuly v jejím jmenovateli.
Postup si můžeme ukázat na již zmíněném příkladu:
Zadání: Vypočtěte:
x
x
x
)
sin(
lim
0
→
Řešení: Funkci
x
x
x
f
)
sin(
)
(
=
nelze žádnými algebraickými úpravami upravit na funkci
v bodě 0 spojitou, jejíž funkční hodnota by odpovídala limitě dané funkce. Jako jediná
možnost nám zbývá L’Hospitalovo pravidlo. Musíme ovšem nejdříve prověřit, zda jej
můžeme aplikovat.
Víme, že L’Hospitalovo pravidlo můžeme aplikovat pouze tehdy, když daná limita
pro čitatele se rovná nule, nekonečnu nebo mínus nekonečnu, a zároveň daná limita pro
jmenovatele se rovná nule, nekonečnu nebo mínus nekonečnu. V tomto případě platí:
0
)
0
sin(
)
sin(
lim
0
=
=
→
x
x
0
lim
0
=
→
x
x
Obě podmínky jsou tedy splněny. L’Hospitalovo pravidlo aplikovat můžeme:
1
)
0
cos(
)
cos(
lim
1
)
cos(
lim
'
)
(
sin'
lim
)
sin(
lim
0
0
0
0
=
=
=
=
=
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Odpověď:
1
)
sin(
lim
0
=
→
x
x
x
Čtenář se zcela určitě setká také s úlohami, kdy L’Hospitalovo pravidlo aplikovat
můžeme (podmínky splněny budou), nicméně na první pohled to zdánlivě nepovede k
řešení, neboť i po derivaci čitatele a jmenovatele se stále bude ve jmenovateli vyskytovat
0 nebo kdekoliv ve funkci se stále bude nacházet nepohodlné