Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
∞ . Nuže, v takovém
případě prostě L’Hopitalovo pravidlo aplikujeme opakovaně (budou-li pro
opakovanou aplikaci splněny podmínky), dokud nám nevyjde přijatelná funkce. To si
ukažme na následující řešené úloze:
49
Zadání: Vypočtěte:
3
0
)
sin(
lim
x
x
x
x
−
→
Řešení: Algebraické úpravy nepřipadají v úvahu, proto prověříme, zda je možno
aplikovat L’Hospitalovo pravidlo:
0
0
)
0
sin(
)
sin(
lim
0
=
−
=
−
→
x
x
x
0
0
lim
3
3
0
=
=
→
x
x
L’Hospitalovo pravidlo tedy aplikovat můžeme:
(
)
2
0
3
0
3
0
3
1
)
cos(
lim
)'
(
'
)
sin(
lim
)
sin(
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
=
−
=
−
→
→
→
Tím jsme sice zatím výsledek nezískali, zkusíme však L’Hospitalovo pravidlo zopakovat.
Nezapomeneme samozřejmě nejdříve prověřit, zda jej můžeme znovu aplikovat:
0
1
1
1
)
0
cos(
1
)
cos(
lim
0
=
−
=
−
=
−
→
x
x
0
0
.
3
3
lim
2
2
0
=
=
→
x
x
Aplikace L’Hospitalova pravidla je tedy možná:
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6
)
sin(
lim
)'
3
(
'
1
)
cos(
lim
3
1
)
cos(
lim
0
2
0
2
0
−
=
−
=
−
→
→
→
Jak je vidět, stále to ještě nestačí, neboť dosazením bychom opět získali ve jmenovateli
nulu. Proto prověříme, zda je možno proces ještě jednou opakovat:
0
)
0
sin(
)
sin(
lim
0
=
−
=
−
→
x
x
0
0
.
6
6
lim
0
=
=
→
x
x
Podmínka je splněna, proto pokračujeme:
6
1
6
)
0
cos(
6
)
cos(
lim
)'
6
(
)
(
sin'
lim
6
)
sin(
lim
0
0
0
−
=
−
=
−
=
−
=
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
Na závěr si uveďme ještě jednu pěknou řešenou úlohu s nekonečnem:
Zadání:
Vypočtěte:
11
)
ln(
lim
+
−
∞
→
x
x
x
Řešení: Prověříme, zda lze aplikovat L’Hospitalovo pravidlo:
∞
=
∞
→
)
ln(
lim
x
x
−∞
=
+
−
∞
→
11
lim x
x
Podmínka je tedy splněna, proto vypočteme:
0
1
lim
1
lim
1
1
lim
)'
11
(
)
(
ln'
lim
11
)
ln(
lim
=
−
=
−
=
−
=
+
−
=
+
−
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
50
6. VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE JEDNÉ
REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Nyní, když je čtenář již zvyklý na zobrazování funkcí v grafech, je čas vysvětlit,