Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x
x
x
x
f
4000
260
4
)
(
2
3
+
−
=
maximum. Jak takový bod najdeme? Dobře si
v grafu prohlédněme bod, v němž má naše funkce maximum. Tento bod má totiž
jedinečnou vlastnost, a sice že tečna k dané funkci je v něm vodorovná. A je-li přímka
vodorovná, je její směrnice rovna nule. Jinými slovy, směrnice tečny k funkci v bodě, kde
má funkce maximum, je rovna nule. Jak už dobře víme, směrnice tečny k funkci se
nazývá derivace funkce. Můžeme tedy konečně vyvodit následující závěr: V bodě, kde
má funkce maximum, je její derivace rovna nule. Tento závěr je nesmírně důležitý
(mimochodem, o této skutečnosti je zmínka již v kapitole „Typické příklady souvislosti
průběhu funkce a derivace“).
Pro řešení naší úlohy tedy vyplývá, že budeme hledat takové x , němž je
derivace funkce
x
x
x
x
f
4000
260
4
)
(
2
3
+
−
=
rovna nule. To lze zapsat rovnicí:
0
)'
4000
260
4
(
2
3
=
+
−
x
x
x
Vytvoříme obecnou derivaci:
0
4000
520
12
2
=
+
−
x
x
Vznikla nám obyčejná kvadratická rovnice. Vypočteme její kořeny:
=
−
±
=
⋅
⋅
⋅
−
−
±
=
24
192000
270400
520
12
2
4000
12
4
)
520
(
520
2
2
,
1
x
24
280
520
24
78400
520
24
192000
270400
520
±
=
±
=
−
±
=
10
24
240
1
=
=
x
3
100
24
800
2
=
=
x
53
Vyšly nám tedy dva kořeny:
10
1 =
x
a
3
,
33
2 =
x
. Druhý kořen ovšem řešením být
nemůže, neboť strana čtverce nemůže být delší než 25 centimetrů7. Řešením je tedy
10
=
x
.
Odpověď: Maximálního objemu krabice dosáhneme, vystřihneme-li z kartónu čtverce o
délce strany 10 cm.