Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0
x tehdy, když platí, že
±∞
=
+
→
)
(
lim
0
x
f
x
x
nebo
±∞
=
−
→
)
(
lim
0
x
f
x
x
. V našem případě tedy prověříme, zda jsou asymptoty v bodech
0
=
x
a
1
−
=
x
.
Výpočet v bodě
0
=
x
:
∞
=
+
+
+
→
x
x
x
x
2
0
1
2
lim
−∞
=
+
+
−
→
x
x
x
x
2
0
1
2
lim
Přímka
0
=
x
je asymptotou bez směrnice.
Výpočet v bodě
1
−
=
x
:
∞
=
+
+
+
−
→
x
x
x
x
2
1
1
2
lim
−∞
=
+
+
−
−
→
x
x
x
x
2
1
1
2
lim
Přímka
1
−
=
x
je asymptotou bez směrnice.
Nyní prověřme asymptoty bez směrnice. Vypočítáme:
0
2
3
2
lim
)
1
(
1
2
lim
1
2
lim
)
(
lim
2
2
2
=
+
=
+
+
=
+
+
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
a
x
x
x
x
(
)
0
1
2
lim
0
1
2
lim
)
(
lim
2
2
=
+
+
=
⋅
−
+
+
=
⋅
−
=
∞
→
∞
→
∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
a
x
f
b
x
x
x
Prověříme, zda funkce má asymptotu v nevlastním bodě
∞
+ :
(
)
0
1
2
lim
)
(
lim
2
=
+
+
=
−
⋅
−
∞
→
∞
→
x
x
x
b
x
a
x
f
x
x
Přímka
0
=
y
(neboli osa x) je asymptotou se směrnicí v bodě
∞
+ .
0
2
3
2
lim
)
1
(
1
2
lim
1
2
lim
)
(
lim
2
2
2
=
+
=
+
+
=
+
+
=
=
−∞
→
−∞
→
−∞
→
−∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
a
x
x
x
x
(
)
0
1
2
lim
0
1
2
lim
)
(
lim
2
2
=
+
+
=
⋅
−
+
+
=
⋅
−
=
−∞
→
−∞
→
−∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
a
x
f
b
x
x
x
Prověříme, zda funkce má asymptotu v nevlastním bodě
∞
− :
(
)
0
1
2
lim
)
(
lim
2
=
+
+
=
−
⋅
−
−∞
→
−∞
→
x
x
x
b
x
a
x
f
x
x
Přímka
0
=
y
(neboli osa x) je rovněž asymptotou se směrnicí v bodě
∞
− .
69
5. KROK
Jelikož nemohu čtenáře provázet při tvorbě náčrtku funkce, nabízím alespoň ke
kontrole graf vytvořený kapesní matematickou laboratoří:
Průběh funkce
x
x
x
x
f
+
+
=
2
1
2
)
(
(včetně asymptot).
Čtenář si jistě povšiml, že vyšetření průběhu funkce je úkolem poměrně pracným
a náročným na čas. Zajímavé je, že právě vyšetřování funkcí je činnost, na níž se až
nezvykle výrazně promítá míra zkušeností, které řešitel má. Je obrovský rozdíl mezi
dobou, kterou zabere vyšetření funkce začátečníkovi, oproti času, který ke stejnému
úkolu postačí zkušenějšímu. Jelikož písemné zkoušky mohou být náročné na čas,
doporučuji čtenáři, aby si ve vhodných sbírkách vyhledal co nejvíce úloh na vyšetřování
funkcí a ve svém vlastním zájmu si jich co nejvíce vyřešil. Dá se předpokládat, že bude
sám překvapen, kolik nepřenosných zkušeností při tom získá.