Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
𝑘 = 0,1,2,3.
b) Určete operátorový přenos systému.
c) Nakreslete rozložení pólů a nul.
d) Rozhodněte o stabilitě.
e) Napište diferenční rovnici systému.
Řešení 6.5.03: a)
Platí 𝑔(0) = ℎ(0) − ℎ(−1) = 0; 𝑔(1) = ℎ(1) − ℎ(0) = −1/6 a pro 𝑘 > 1 platí
g(k)
0
1
2
3
k
1/4
½
1/8
Re z
{ }
Im z
{ }
0
-1
+1/2
168
FEKT VUT v Brně
𝑔(𝑘) = ℎ(𝑘) − ℎ(𝑘 − 1) =
1
3
[(−
1
2
)
𝑘
− (−
1
2
)
𝑘−1
] =
1
3
[(−
1
2
)
𝑘
− (−
1
2
)
𝑘−1
] =
=
1
3
(−
1
2
)
𝑘−1
[(−
1
2
) − 1] =
1
3
(−
1
2
)
𝑘−1
(−
3
2
) = (−
1
2
)
𝑘
𝑔(0) = 0; 𝑔(1) = −1/6; 𝑔(2) = 1/4; 𝑔(3) = −1/8;
b)
Pro přenos platí:
𝐹(𝑧) =
𝑧−1
𝑧
{ℎ(𝑘)} =
𝑧−1
𝑧
1
3
∑
(−
1
2𝑧
)
𝑘
∞
𝑘=1
=
𝑧−1
3𝑧
[
1
1+
1
2𝑧
− 1] =
=
𝑧 − 1
3𝑧
[
2𝑧
2𝑧 + 1
− 1] =
𝑧 − 1
3𝑧
2𝑧 − 2𝑧 − 1
2𝑧 + 1
= −
𝑧 − 1
6𝑧(𝑧 + 0,5)
= −
𝑧−1 − 𝑧−2
6 + 3𝑧−1
c)
Systém má jednu nulu 𝑛1 = 1a dva póly 𝑧1 = 0; 𝑧2 = −0,5 (viz obr. vpravo).
d)
Póly leží uvnitř jednotkové kružnice, tj. systém je stabilní
e)
Pro diferenční rovnici systému platí:
𝐹(𝑧) = −
𝑧−1 − 𝑧−2
6 + 3𝑧−1
=
𝑌(𝑧)
𝑈(𝑧)
⇒
𝑌(𝑧)(6 + 3𝑧−1) = −𝑈(𝑧)(𝑧−1 − 𝑧−2)
6𝑦(𝑘) + 3𝑦(𝑘 − 1) = −𝑢(𝑘 − 1) + 𝑢(𝑘 − 2)
Zkouška: na vstupu je jednotkový skok 𝜎(𝑘), výstup musí být zadaná přechodová
charakteristika
ℎ(𝑘)
𝑦(𝑘) = −1/2𝑦(𝑘 − 1) − 1/6𝑢(𝑘 − 1) + 1/6𝑢(𝑘 − 2)
𝑘 = 0 𝑦(0) = −1/2𝑦(−1) − 1/6𝑢(−1) + 1/6𝑢(−2) = −0 − 0 − 0 = 0
𝑘 = 1 𝑦(1) = −1/2𝑦(0) − 1/6𝑢(0) + 1/6𝑢(−1) = 0 − 1/6 = −1/6
𝑘 = 2 𝑦(2) = −1/2𝑦(1) − 1/6𝑢(1) + 1/6𝑢(0) = +1/12 − 1/6 + 1/6 = 1/12
𝑘 = 3 𝑦(3) = −1/2𝑦(2) − 1/6𝑢(2) + 1/6𝑢(1) = −1/24 − 1/6 + 1/6 = −1/24