Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
𝑝
12𝑝2 + 7𝑝 + 1
=
𝑝
(4𝑝 + 1)(3𝑝 + 1)
b)
ℎ(𝑡) =-1{
1
𝑝
𝐹(𝑝)} =-1{
1
(4𝑝+1)(3𝑝+1)
} Rozložíme na parciální zlomky: Bude
1
(4𝑝+1)(3𝑝+1)
=
𝐴
(4𝑝+1)
+
𝐵
(3𝑝+1)
=
𝐴(3𝑝+1)+𝐵(4𝑝+1)
(4𝑝+1)(3𝑝+1)
=
𝑝(3𝐴+4𝐵)+(𝐴+𝐵)
(4𝑝+1)(3𝑝+1)
⇒
⇒ 3𝐴 + 4𝐵 = 0 𝐴 + 𝐵 = 1 ⇒ 𝐴 = 1 − 𝐵 3(1 − 𝐵) + 4𝐵 = 0 ⇒ 𝐵 = −3; 𝐴 = 4 .
Takže
ℎ(𝑡) =-1{
4
(4𝑝+1)
−
3
(3𝑝+1)
} =-1{
1
(𝑝+1/4)
−
1
(𝑝+1/3)
} = 𝑒
−
𝑡
4
− 𝑒
−
𝑡
3
𝑡 ≥ 0 a
ℎ(𝑡) = 0 𝑡 < 0.
c)
Pro průběh přechodové charakteristiky platí ℎ(0) = 0 ℎ(∞) = 0. Pro extrémy platí
ℎ′(𝑡) = −
1
4
𝑒
−
𝑡
4
+
1
3
𝑒
−
𝑡
3
= 0 ⇒
1
4
𝑒
−
𝑡
4
=
1
3
𝑒
−
𝑡
3
⇒ 𝑒
𝑡
3
𝑒
−
𝑡
4
=
4
3
⇒ 𝑒
𝑡
12
=
4
3
⇒ 𝑡 =
12ln
4
3
> 0 a přechodová charakteristika má jen jeden extrém, a to na kladné ose času. Dále
je zřejmé, že ℎ(𝑡) > 0 𝑡 ∈ (0, +∞) a tedy hodnota extrému musí být kladná. Pro
směrnici ℎ(𝑡) v počátku platí
BSAS – sbírka příkladů
171
ℎ′(𝑡 = 0) = [−
1
4
𝑒
−
𝑡
4
+
1
3
𝑒
−
𝑡
3
]
𝑡=0
= −
1
4
+
1
3
=
1
12
> 0. Proto:
d)
Vzorkováním tohoto průběhu s periodou T obdržíme:
ℎ(𝑘𝑇) = ℎ(𝑡)|𝑡=𝑘𝑇 = 𝑒
−
𝑘𝑇
4
− 𝑒
−
𝑘𝑇
3
= (𝑒
−
𝑇
4
)
𝑘
− (𝑒
−
𝑇
3
)
𝑘
. Pro Z obraz této posloupnosti
bude platit:
{ℎ(𝑘)} = ∑
ℎ(𝑘)𝑧−𝑘 =
∞
𝑘=0
∑
(𝑒
−
𝑇
4
)
𝑘
𝑧−𝑘 −
∞
𝑘=0
∑
(𝑒
−
𝑇
3
)
𝑘
𝑧−𝑘 =
∞
𝑘=0
=
1
1 − 𝑧−1𝑒
−
𝑇
4
−
1
1 − 𝑧−1𝑒
−
𝑇
3
=
𝑧
𝑧 − 𝑒
−
𝑇
4
−
𝑧
𝑧 − 𝑒