Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
b)
Pro spektrum signálu platí
𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 =
+∞
−∞
∫ 𝑎𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
0
= 𝑎 ∫ 𝑒−(𝑎+𝑗𝜔)𝑡𝑑𝑡
+∞
0
= 𝑎 [
𝑒−(𝑎+𝑗𝜔)𝑡
−(𝑎 + 𝑗𝜔)
]
0
∞
=
=
𝑎
(𝑎 + 𝑗𝜔)
=
𝑎(𝑎 − 𝑗𝜔)
𝑎2 + 𝜔2
c)
Pro amplitudové spektrum platí
|𝐹(𝜔)| = |
𝑎(𝑎 − 𝑗𝜔)
𝑎2 + 𝜔2
| =
𝑎√𝑎2 + 𝜔2
𝑎2 + 𝜔2
Funkce
𝐹(𝜔) je sudou funkcí kmitočtu a platí:
𝐹(0) =
𝑎√𝑎2
𝑎2
= 1 lim
𝜔→∞
𝐹(𝜔) = lim
𝜔→∞
𝑎√𝑎2+𝜔2
𝑎2+𝜔2
= 0 a pro 𝜔 > 0 je tato funkce
monotónně klesající neboť
𝑑𝐹(𝜔)
𝑑𝜔
=
𝑎
1
2
(𝑎2 + 𝜔2)−1/22𝜔(𝑎2 + 𝜔2) − 𝑎(𝑎2 + 𝜔2)+1/22𝜔
(𝑎2 + 𝜔2)2
=
= −
𝜔𝑎
(𝑎2 + 𝜔2)2
(𝑎2 + 𝜔2)+1/2 < 0 ∀𝜔 > 0
t
f(t)
0
-a
+a
2
-1
t
f(t)
0
+a
BSAS – sbírka příkladů
31
Příklad 3.3.08: Je dán spojitý signál 𝑓(𝑡) =
1
2𝜋
𝑒−𝑎|𝑡|𝑒𝑗𝜔0𝑡 𝑡 ∈ (−∞, +∞), 𝑎 > 0
a) Načrtněte reálnou a imaginární část signálu a rozhodněte, zda je periodický.
b) Vypočtěte jeho spektrum.
c) Načrtněte amplitudové a fázové spektrum.
Řešení 3.3.08: a)
Platí 𝑓(𝑡) =
1
2𝜋
𝑒−𝑎|𝑡|cos𝜔0𝑡 + 𝑗
1
2𝜋
𝑒−𝑎|𝑡|sin𝜔0𝑡. Reálná (imaginární) část signálu
představuje tlumený kosinusový (sinusový) signál. Signál není periodický.
b)
Pro spektrum platí
𝐹(𝜔) = ∫
𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞
= ∫
𝑒−𝑎|𝑡|𝑒𝑗𝜔0𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞
.
Protože 𝑒−𝑎|𝑡| = {𝑒
−𝑎𝑡
𝑡 ≥ 0
𝑒+𝑎𝑡
𝑡 < 0
je třeba integrál rozdělit na dva integrály. Bude
𝐹(𝜔) =
1
2𝜋
{ ∫ 𝑒+𝑡(𝑎+𝑗𝜔0−𝑗𝜔)𝑑𝑡
0
−∞
+ ∫ 𝑒−𝑡(𝑎−𝑗𝜔0+𝑗𝜔)𝑑𝑡
+∞
0
} =
=
1
2𝜋
{
1
(𝑎 + 𝑗𝜔0 − 𝑗𝜔)
[𝑒+𝑡(𝑎+𝑗𝜔0−𝑗𝜔)]
−∞
0
+
−1
(𝑎 − 𝑗𝜔0 + 𝑗𝜔)