Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
[𝑒−𝑡(𝑎−𝑗𝜔0+𝑗𝜔)]
0
+∞
} =
=
1
2𝜋
{
1
(𝑎 + 𝑗𝜔0 − 𝑗𝜔)
+
1
(𝑎 − 𝑗𝜔0 + 𝑗𝜔)
} =
1
2𝜋
{
1
𝑎 − 𝑗(𝜔 − 𝜔0)
+
1
𝑎 + 𝑗(𝜔 − 𝜔0)
} =
=
1
2𝜋
𝑎 + 𝑗𝜔 − 𝑗𝜔0 + 𝑎 − 𝑗𝜔 + 𝑗𝜔0
𝑎2 + (𝜔 − 𝜔0)2
=
1
𝜋
𝑎
𝑎2 + (𝜔 − 𝜔0)2
c)
Spektrum je čistě reálné a kladné, proto |𝐹(𝜔)| =
1
𝜋
𝑎
𝑎2+(𝜔−𝜔0)2
, arg{𝐹(𝜔)} = 0. Dále
platí 𝐹(−∞) = 𝐹(+∞) = 0 a pro extrém spektra bude
𝑑𝐹(𝜔)
𝑑𝜔
=
1
𝜋
−𝑎[2(𝜔−𝜔0)]
[𝑎2+(𝜔−𝜔0)2]2
= 0
w
0
+1
F( )
w
t
t
Re{f(t)}
Im{f(t)}
0
0
exp(-a|t|)
exp(-a|t|)
1/2
p
1/2
p
32
FEKT VUT v Brně
⇒ 𝜔 = 𝜔0 𝐹(𝜔 = 𝜔0) =
1
𝜋𝑎
Příklad 3.3.09: Signál se spojitým časem𝑓(𝑡) má tvar Diracova impulsu tj. 𝑓(𝑡) = 𝛿(𝑡).
a) Vypočtěte spektrum tohoto signálu.
b) Načrtněte amplitudové a fázové spektrum signálu
𝑓(𝑡).
Řešení 3.3.09: a)
Signál 𝛿(𝑡) nahradíme signálem 𝛿(𝑡, 𝜀) = {
1/𝜀
𝑡 ∈ (−𝜀/2, +𝜀/2)
0
𝑡 ∉ (−𝜀/2, +𝜀/2)
,
vypočteme jeho spektrum a potom provedeme ve spektru limitní přechod 𝜀 → 0.
𝐹(𝜔, 𝜀) = ∫ 𝛿(𝑡, 𝜀)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞
= ∫
1
𝜀
𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+𝜀/2
−𝜀/2
=
1
𝜀
[
𝑒−𝑗𝜔𝑡
−𝑗𝜔
]
−𝜀/2
+𝜀/2
=
1
𝜀
𝑒−𝑗𝜔𝜀/2 − 𝑒+𝑗𝜔𝜀/2
−𝑗𝜔
=
𝑒+𝑗𝜔𝜀/2 − 𝑒−𝑗𝜔𝜀/2
−𝑗𝜔𝜀
=
sin
𝜔𝜀
2
𝜔𝜀
2
𝐹(𝜔) = lim
𝜀→0
𝐹(𝜔, 𝜀) = lim
𝜀→0
sin
𝜔𝜀
2
𝜔𝜀
2
= lim
𝜀→0
𝜔
2 cos
𝜔𝜀
2
𝜔
2
= 1
b)
Amplitudové a fázové spektrum signálu
Příklad 3.3.10: Je dán spojitý signál 𝑓(𝑡) = [𝜎(𝑡 + 𝑎) − 𝜎(𝑡 − 𝑎)]cos𝜔0𝑡, 𝑎 > 0, 𝑎 < ∞.
a) Načrtněte průběh signálu.
b) Vypočtěte spektrum signálu a načrtněte ho.