Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Řešení 3.3.12: a)
Signál není periodický.
b)
Pro spektrum signálu platí
𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 =
+∞
−∞
∫ 𝑎𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
0
= 𝑎 ∫ 𝑒−(𝑎+𝑗𝜔)𝑡𝑑𝑡
+∞
0
= 𝑎 [
𝑒−(𝑎+𝑗𝜔)𝑡
−(𝑎 + 𝑗𝜔)
]
0
∞
=
𝑎
(𝑎 + 𝑗𝜔)
=
𝑎(𝑎 − 𝑗𝜔)
𝑎2 + 𝜔2
c)
Pro amplitudové spektrum platí
|𝐹(𝜔)| = |
𝑎(𝑎 − 𝑗𝜔)
𝑎2 + 𝜔2
| =
𝑎√𝑎2 + 𝜔2
𝑎2 + 𝜔2
=
𝑎
√𝑎2 + 𝜔2
Funkce
𝐹(𝜔) je sudou funkcí kmitočtu a platí:
|𝐹(0)| =
𝑎
√𝑎2
= 1 lim
𝜔→∞
|𝐹(𝜔)| = lim
𝜔→∞
𝑎
√𝑎2+𝜔2
= 0 a pro 𝜔 > 0 je tato funkce
monotónně klesající neboť
w
w
+p/2
p/2
F(w)
0,5
0
0
F(w)
arg{ }
t
f(t)
0
+a
BSAS – sbírka příkladů
35
𝑑|𝐹(𝜔)|
𝑑𝜔
=
𝑑
𝑑𝜔
(
𝑎
√𝑎2 + 𝜔2
) =
−𝑎
1
2
(𝑎2 + 𝜔2)
−
1
2
2𝜔
(𝑎2 + 𝜔2)
=
= −
𝜔𝑎
(𝑎2 + 𝜔2)
(𝑎2 + 𝜔2)−1/2 < 0 ∀𝜔 > 0
Příklad 3.3.13: Je dán signál
𝑓(𝑡) = {
+𝑒𝑎𝑡
𝑡 < 0
−𝑒−𝑎𝑡
𝑡 > 0
0
𝑡 = 0
kde
𝑎 > 0 je reálné číslo.
a) Načrtněte časový průběh signálu.
b) Vypočtěte spektrum signálu.
c) Načrtněte amplitudové a fázové spektrum signálu.
Řešení 3.3.13: a)
b)
𝐹(𝜔) = ∫ 𝑒𝑎𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 −
0
−∞
∫ 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
0
=
1
(𝑎 − 𝑗𝜔)
+
1
−(𝑎 + 𝑗𝜔)
=
=
1
(𝑎 − 𝑗𝜔)
−
1
(𝑎 + 𝑗𝜔)
=
𝑎 + 𝑗𝜔 − 𝑎 + 𝑗𝜔
𝑎2 + 𝜔2
=
+2𝑗𝜔
𝑎2 + 𝜔2
c)
Pro amplitudové spektrum platí
𝐴 = |𝐹(𝜔)| = |
2𝑗𝜔
𝑎2 + 𝜔2
| =
2|𝜔|
𝑎2 + 𝜔2
|𝐹(0)| = 0 |𝐹(∞)| = 0
𝑑𝐴
𝑑𝜔
|
𝜔>0
=
=
2𝑎2 + 2𝜔2 − 4𝜔2