Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
c) Načrtněte spektrum pro limitní případ
𝑎 → +∞. Pomůcka: lim
𝑎→∞
𝑎
sin[𝑎(𝜔−𝜔0)]
𝑎(𝜔−𝜔0)
=
𝜋𝛿(𝜔 − 𝜔0).
Řešení 3.3.10: a)
Průběh signálu.
0
0
w
w
|F(
|
w)
1/( a)
p
w
w
0
0
1
F( )
w
F( )
w
arg{ }
BSAS – sbírka příkladů
33
b)
Spektrum signálu
𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 =
+∞
−∞
1
2
∫ 𝑒−𝑗(𝜔−𝜔0)𝑡𝑑𝑡 +
1
2
∫ 𝑒−𝑗(𝜔+𝜔0)𝑡𝑑𝑡
+𝑎
−𝑎
+𝑎
−𝑎
=
=
1
2
[
𝑒−𝑗(𝜔−𝜔0)𝑡
−𝑗(𝜔 − 𝜔0)
]
−𝑎
+𝑎
+
1
2
[
𝑒−𝑗(𝜔+𝜔0)𝑡
−𝑗(𝜔 + 𝜔0)
]
−𝑎
+𝑎
=
=
sin(𝜔 − 𝜔0)𝑎
(𝜔 − 𝜔0)
+
sin(𝜔 + 𝜔0)𝑎
(𝜔 + 𝜔0)
= 𝑎
sin(𝜔 − 𝜔0)𝑎
(𝜔 − 𝜔0)𝑎
+ 𝑎
sin(𝜔 + 𝜔0)𝑎
(𝜔 + 𝜔0)𝑎
c)
Vzhledem k pomůcce platí:
lim
𝑎→∞
𝐹(𝜔, 𝑎) = lim
𝑎→∞
𝑎
sin(𝜔 − 𝜔0)𝑎
(𝜔 − 𝜔0)𝑎
+ lim
𝑎→∞
𝑎
sin(𝜔 + 𝜔0)𝑎
(𝜔 + 𝜔0)𝑎
=
= 𝜋𝛿(𝜔 − 𝜔0) + 𝜋𝛿(𝜔 + 𝜔0)
Příklad 3.3.11: Je dán signál 𝑓(𝑡) = 𝜎(𝑡)𝑒−2𝑡, 𝑡 ∈ (−∞, +∞)
a) Určete, zda je signál periodický.
b) Vypočtěte jeho frekvenční spektrum.
c) Načrtněte amplitudové a fázové spektrum. Popište osy.
Řešení 3.3.11: a)
Signál není periodický.
b)
Spektrum určíme jako jeho Fourierovu transformaci. Platí
𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞
= ∫ 𝑒−2𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
0
= ∫ 𝑒−(2+𝑗𝜔)𝑡𝑑𝑡
+∞
0
= [
𝑒−(2+𝑗𝜔)𝑡
−(2 + 𝑗𝜔)
]
0
∞
f(t)
t
+1
-1
+a
-a
0
0
w
F( )
w
w
0
w
0
a
a<
-
34
FEKT VUT v Brně
=
1
−(2 + 𝑗𝜔)
(0 − 1) =
1
2 + 𝑗𝜔
=
2 − 𝑗𝜔
4 + 𝜔2
c)
Pro amplitudové a fázové spektrum platí:
|𝐹(𝜔)| = |
1
2+𝑗𝜔
| =
1
√4+𝜔2
Φ(𝜔) = arctan
−𝜔
4+𝜔2
2
4+𝜔2
= −arctan
𝜔
2
Příklad 3.3.12: Je dán spojitý signál 𝑓(𝑡) = 𝑎𝑒−𝑎𝑡𝜎(𝑡) 𝑎 > 0.
a) Rozhodněte, zda je signál periodický a načrtněte ho.
b) Vypočtěte jeho spektrum.
c) Určete amplitudové spektrum a načrtněte ho.