Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(𝑎2 + 𝜔2)2
=
2𝑎2 − 2𝜔2
(𝑎2 + 𝜔2)2
=
!
0 ⇒ 𝜔 = ±𝑎 𝐴(𝜔 = 𝑎) =
2𝑎
𝑎2 + 𝑎2
=
1
𝑎
Pro fázové spektrum platí:
Φ(𝜔) = arg{𝐹(𝜔)} = arg {
2𝑗𝜔
𝑎2 + 𝜔2
} =
{
−
𝜋
2
𝜔 < 0
+
𝜋
2
𝜔 > 0
0
𝜔 = 0
w
0
+1
F( )
w
+1
-1
t
f(t)
0
36
FEKT VUT v Brně
Příklad 3.3.14:
Je dán signál se spojitým časem 𝑓(𝑡) = {
𝐾
𝑡 ∈ (0, 𝑎)
0
𝑡 ∉ (0, 𝑎)
kde
𝐾 > 0
a) Vypočtěte spektrum signálu.
b) Vypočtěte amplitudové spektrum a načrtněte ho. Ocejchujte osy.
c) Určete celkovou energii signálu.
d) Určete energii signálu v kmitočtovém rozsahu
𝜔 ∈ (−∞, +∞).
Řešení 3.3.14: a)
𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞
= ∫ 𝐾𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑎
0
= 𝐾 [
𝑒−𝑗𝜔𝑡
−𝑗𝜔
]
0
𝑎
=
𝐾
−𝑗𝜔
(𝑒−𝑗𝜔𝑎 − 1)
= 𝑗
𝐾
𝜔
(𝑒−𝑗𝜔𝑎 − 1)
b)
Amplitudové spektrum
𝐴(𝜔) = |𝐹(𝜔)| =
𝐾
𝜔
|𝑒−𝑗𝜔𝑎 − 1| =
𝐾
𝜔
|cos𝜔𝑎 − 𝑗sin𝜔𝑎 − 1|
=
𝐾
𝜔
√(cos𝜔𝑎 − 1)2 + sin2𝜔𝑎 =
=
𝐾
𝜔
√cos2𝜔𝑎 − 2cos𝜔𝑎 + 1 + sin2𝜔𝑎 =
𝐾
𝜔
√2(1 − cos𝜔𝑎) =
2𝐾
𝜔
|sin
𝜔𝑎
2
|
= 𝐾𝑎 |
sin
𝜔𝑎
2
𝜔𝑎
2
|
Nulové body amplitudového spektra:
𝜔𝑎
2
= 𝑛𝜋, 𝑛 = ±1, ±2, … ⇒ 𝜔 = 𝑛
2𝜋
𝑎
c)
𝐸 = ∫
|𝑓(𝑡)|2𝑑𝑡
+∞
−∞
= ∫ 𝐾2𝑑𝑡
𝑎
0
= 𝐾2[𝑡]0
𝑎 = 𝐾2𝑎.
d)
Na základě Parcevalovy rovnosti (energie v časové oblasti je rovna energii v kmitočtové
oblasti) platí 𝐸(−∞,+∞) =
1
2𝜋
∫
|𝐹(𝜔)|2𝑑𝑡 = ∫
|𝑓(𝑡)|2𝑑𝑡
+∞
−∞
= 𝐾2𝑎
+∞
−∞
.
+p/2
p/2
w
w
A( )
w
F w
( )
0
0
-a
+a
1/a
0
w
2p/a
2p/a
p/a p/a
p/a
p/a
A( )
w
Ka
BSAS – sbírka příkladů
37