Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
w
0
2a F( )
w
-2p/a
+ p/
2 a
+p/a
p/a
40
FEKT VUT v Brně
𝐸 = ∫ 𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝐴2cos2𝜔0𝑡𝑑𝑡
+𝜋
𝜔0
−𝜋
𝜔0
+∞
−∞
=
𝐴2
2
∫ 𝑑𝑡
+𝜋
𝜔0
−𝜋
𝜔0
+
𝐴2
2
∫ cos2𝜔0𝑡𝑑𝑡
+𝜋
𝜔0
−𝜋
𝜔0
=
=
𝐴2
2
[𝑡]−𝜋
𝜔0
+𝜋
𝜔0 +
𝐴2
4𝜔0
[sin2𝜔0𝑡]−𝜋
𝜔0
+𝜋
𝜔0 =
𝜋𝐴2
𝜔0
Příklad 3.3.20:
Je dán signál 𝑓(𝑡) = {
𝐴sin𝜔0𝑡 𝑡 ∈ (−
𝜋
𝜔0
, +
𝜋
𝜔0
)
0
𝑡 ∉ (−
𝜋
𝜔0
, +
𝜋
𝜔0
)
a) Určete, zda je signál periodický.
b) Určete hodnotu frekvenčního spektra signálu pro frekvenci
𝜔 = 0. Zdůvodněte výsledek.
c) Určete energii signálu.
Řešení 3.3.20: a)
Signál není periodický.
b)
𝐹(𝜔 = 0) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝐴sin𝜔0𝑡𝑑𝑡 = [−
𝐴
𝜔0
cos𝜔0𝑡]
−𝜋
𝜔0
+𝜋
𝜔0
+𝜋
𝜔0
−𝜋
𝜔0
+∞
−∞
=
= −
𝐴
𝜔0
[cos𝜔0
+𝜋
𝜔0
− cos𝜔0
−𝜋
𝜔0
] = 0
SS složka signálu je nulová.
c)
𝐸 = ∫ 𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝐴2sin2𝜔0𝑡𝑑𝑡
+𝜋
𝜔0
−𝜋
𝜔0
+∞
−∞
=
𝐴2
2
∫ 𝑑𝑡
+𝜋
𝜔0
−𝜋
𝜔0
−
𝐴2
2
∫ cos2𝜔0𝑡𝑑𝑡
+𝜋
𝜔0
−𝜋
𝜔0
=
=
𝐴2
2
[𝑡]−𝜋
𝜔0
+𝜋
𝜔0 −
𝐴2
4𝜔0
[sin2𝜔0𝑡]−𝜋
𝜔0
+𝜋
𝜔0 =
𝜋𝐴2
𝜔0
Příklad 3.3.21: Je dán signál
𝑓(𝑡) = {
−𝑒𝑎𝑡
𝑡 < 0
+𝑒−𝑎𝑡
𝑡 > 0
0
𝑡 = 0
kde
𝑎 > 0 je reálné číslo.
a) Načrtněte časový průběh signálu.
b) Vypočtěte spektrum signálu.
c) Načrtněte amplitudové a fázové spektrum signálu.
Řešení 3.3.21: a)
BSAS – sbírka příkladů
41
b)
𝐹(𝜔) = − ∫ 𝑒𝑎𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 +
0
−∞
∫ 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
0
= −
1
(𝑎 − 𝑗𝜔)
−
1
−(𝑎 + 𝑗𝜔)
=
= −
1
(𝑎 − 𝑗𝜔)
+
1
(𝑎 + 𝑗𝜔)
=
−𝑎 − 𝑗𝜔 + 𝑎 − 𝑗𝜔
𝑎2 + 𝜔2
=
−2𝑗𝜔
𝑎2 + 𝜔2
c)
Pro amplitudové spektrum platí
𝐴 = |𝐹(𝜔)| = |
−2𝑗𝜔
𝑎2 + 𝜔2
| =
2|𝜔|
𝑎2 + 𝜔2