Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2
− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔10𝜔 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝜔
log
w
0,1
Fw)
Fw)
F(j
w)
dB
0
-90
-180
+60
1
1/4
-20dB/dek
-40dB/dek
+20
20log100=+40
Im{p}
Re{p}
-1
-0,1
BSAS – sbírka příkladů
49
Příklad 4.1.06: Dynamický systém je popsán diferenciální rovnicí 𝑦′′ + 0,25𝑦′ = 2,5𝑢.
a) Napište jeho operátorový přenos.
b) Nakreslete rozložení pólů a nul.
c) Načrtněte jeho frekvenční charakteristiku v komplexní rovině. Popište osy.
d) Načrtněte jeho amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku v logaritmických
souřadnicích. Popište osy.
e) Vypočtěte a načrtněte jeho impulsní charakteristiku. Popište osy.
Řešení 4.1.06: a)
Pro operátorový přenos platí
𝐹(𝑝) =
2,5
𝑝2 + 0,25𝑝
=
10
𝑝(4𝑝 + 1)
b)
Systém má dva póly, jeden v nule, druhý v -1/4.
c)
Pro frekvenční přenos platí
𝐹(𝑗𝜔) =
10
−4𝜔2 + 𝑗𝜔
=
10(−4𝜔2 − 𝑗𝜔)
16𝜔4 + 𝜔2
=
−40𝜔2
16𝜔4 + 𝜔2
− 𝑗
10𝜔
16𝜔4 + 𝜔2
lim
𝜔→0
Re{𝐹(𝑗𝜔)} = lim
𝜔→0
−40𝜔2
16𝜔4 + 𝜔2
= lim
𝜔→0
−40
16𝜔2 + 1
= −40
d)
Pro amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku platí:
|𝐹(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20log |
10
𝑗𝜔(4𝑗𝜔 + 1)
| = 20log10 − 20log𝜔 − 20log√16𝜔2 + 1
arg{𝐹(𝑗𝜔)} = −𝜋/2 − arctan4𝜔
0,01
0,1
1
10
+20
-20
F(jw)
dB
+2
0d
B
/d
ek
-2
0d
B
/d
ek
+0dB/dek
0
+90
0
-90
Fw)
Fw)
logw
Re{p}
Im{p}
0
-1/4
Im F(j
{
}
w)
Re F(j
{
}
w)
0
-40
0
w
w
50
FEKT VUT v Brně
e)
Pro impulsní charakteristiku platí (po rozkladu na parciální zlomky):
𝑔(𝑡) =-1{𝐹(𝑝)} =-1{
10
𝑝(4𝑝+1)
} = 10-1{
1
𝑝
−
1
𝑝+1/4
} = 10(1 − 𝑒−𝑡/4) 𝑡 ≥ 0
Příklad 4.1.07: Na vstupu spojitého systému s nulovými počátečními podmínkami, který je popsán
diferenciální rovnicí 𝑇𝑦′ + 𝑦 = 𝐾𝑢 působí signál 𝑢(𝑡) = 𝜎(𝑡)𝑒𝑗𝜔𝑡, 𝑡 ∈ (−∞, +∞).
a) Vypočtěte časový průběh výstupního signálu.
b) Diskutujte řešení.