3.Derivace-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte funkci
y = (x
2
− 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x).
y = (x
2
− 1)
0 sin(2
x) + (x
2
− 1)
sin(2
x)
0
−
"
(3
x − 1)0 cos(2x) + (3x − 1)
cos(2
x)
0
#
= 2xsin(2x) + (x
2
− 1)cos(2x)2
−
h
3cos(2
x) + (3x − 1)
−sin(2x)
2
i
= sin(2x)
h
2
x + 2(3x − 1)
i
+ cos(2x)
h
2(
x2 − 1) − 3
i
= sin(2x)
h
8
x − 2
i
+ cos(2x)
h
2
x2 − 5
i
Hotovo!
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte
y =
q
2 + cos(2x)
y0 =
h
(2 + cos(2x))
1
2
i
0
=
1
2
· [2 + cos(2x)]
−
1
2 · [2 + cos(2x)]
0
=
1
2
p2 + cos(2x)
· [0 − sin(2x) · 2]
= −
sin(2
x)
p2 + cos(2x)
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte
y =
q
2 + cos(2x)
y0 =
h
(2 + cos(2x))
1
2
i
0
=
1
2
· [2 + cos(2x)]
−
1
2 · [2 + cos(2x)]
0
=
1
2
p2 + cos(2x)
· [0 − sin(2x) · 2]
= −
sin(2
x)
p2 + cos(2x)
• Odmocninu derivujeme jako mocninnou funkci s exponentem
1
2
.
• Pod odmocninou nenı´ x, ale vnitrˇnı´ sloz
ˇka. Musı´me proto na´-
sobit derivacı´ vnitrˇnı´ slozˇky.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte
y =
q
2 + cos(2x)
y0 =
h
(2 + cos(2x))
1
2
i
0
=
1
2
· [2 + cos(2x)]
−
1
2 · [2 + cos(2x)]
0
=
1
2
p2 + cos(2x)
· [0 − sin(2x) · 2]
= −
sin(2
x)
p2 + cos(2x)
• Derivujeme souc
ˇet.
• Prˇi derivaci funkce cos(2x) ope
ˇ t uzˇı´va´me pravidlo pro derivaci
slozˇene´ funkce, protozˇe argumentem nenı´
x, ale (2x).
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte
y =
q
2 + cos(2x)
y0 =
h
(2 + cos(2x))
1
2
i
0
=
1
2
· [2 + cos(2x)]
−
1
2 · [2 + cos(2x)]
0
=
1
2
p2 + cos(2x)
· [0 − sin(2x) · 2]
= −
sin(2
x)
p2 + cos(2x)
Upravı´me. Hotovo!
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte
y = ln
r
1
sin
x
y0 =
1
q
1
sin
x
·
1
2
1
sin
x
−
1
2
· (−1)(sin x)
−2 · cos x
=
p
sin
x ·
1
2
·
p
sin
x · (−1)
1
sin
2 x
cos
x
= −
1
2
cotg
x
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte
y = ln
r
1
sin
x
y0 =