2_Spojité_systémy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
p F p
p
f
dt
L
.
( 1.45 )
Budou-li
počáteční
hodnoty
funkce
t
f
a
všech
derivací
nulové
tj.
0
0
0
...
0
0
1
2
1
f
f
f
f
n
n
potom Laplaceův obraz
n -té derivace funkce
t
f
lze získat tak, že její obraz
p
F
vynásobíme operátorem
n
p
n
n
n
d f t
p F p
dt
L
.
( 1.46 )
Laplaceova transformace tedy převádí operaci derivace vzoru na operaci násobení obrazu
operátorem
p .
Tyto dvě vlastnosti Laplaceovy transformace lze s výhodou použít pro jiný zápis
diferenciální rovnice, která popisuje chování systému. Nechť je dán systém, jehož chování je
popsáno diferenciální rovnicí
t
u
b
dt
t
du
b
dt
t
y
d
b
dt
t
u
d
b
t
y
a
dt
t
dy
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
....
....
kterou zkráceně zapíšeme jako
m
i
i
i
i
n
i
i
i
i
dt
t
u
d
b
dt
t
y
d
a
0
0
( 1.47 )
s nulovými počátečními podmínkami
0
0
0
...
0
0
1
2
1
y
y
y
y
n
n
. Označme
Laplaceův obraz vstupního signálu jako
t
u
p
U
L
a obraz výstupního signálu (odezvy
systému na tento vstup) jako
Y p
y t
L
. Proveďme Laplaceovu transformace levé i
pravé strany diferenciální rovnice tj.
m
i
i
i
i
n
i
i
i
i
dt
t
u
d
b
dt
t
y
d
a
0
0
L
L
.
Použijeme-li nyní první vlastnosti tj. vlastnosti linearity obdržíme:
m
i
i
i
i
n
i
i
i
i
dt
t
u
d
b
dt
t
y
d
a
0
0
L
L
Použijeme-li nyní druhé vlastnosti tj. věty o obrazu derivace (za dříve uvedeného předpokladu
nulových počátečních podmínek) obdržíme:
m
i
i
i
n
i
i
i
p
U
p
b
p
Y
p
a
0
0
.
Signály a systémy
21
Obraz výstupu
p
Y
ani obraz vstupu
p
U
nezávisí v těchto sumách na sčítacím indexu
i a
můžeme je vytknout před tyto sumy a obdržíme:
m
i
i
i
n
i
i
i
p
b
p
U
p
a
p
Y
0
0
.
Z této rovnice můžeme vyjádřit poměr Laplaceova obrazu výstupu
p
Y
a vstupu
p
U
jako