2_Spojité_systémy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
t
f
. Laplaceova transformace je
předpis, který každé takové funkci přiřazuje její obraz
p
F
a je definována integrálem
0
dt
e
t
f
t
f
p
F
pt
L
( 1.39 )
kde proměnná
p je komplexní číslo
j
c
p
. Funkce
t
f
se nazývá vzor, funkce
p
F
je
funkce komplexní proměnné a nazývá se obraz. Všimněme si, že dolní mez integrálu je nulová
což je totéž, jako kdyby funkce
t
f
byla nulová pro záporný čas tj. signál má svůj počátek-
začíná v nule. Aby výše uvedený definiční integrál existoval, musí funkce
t
f
splňovat jisté
další matematické podmínky, které jsou ale předmětem matematiky a nikoliv předmětem
našeho textu. Existují rozsáhlé tabulky („slovníky“ Laplaceovy transformace), obsahující vzory
a obrazy Laplaceovy transformace (viz např.[ 2]). Pro naše účely bude dostačující znát jen čtyři
taková přiřazení, která jsou uvedena v následující tabulce.
Tab. 1-1: Malý slovník Laplaceovy transformace
Vzor
t
f
Obraz
t
f
p
F
L
t
t
f
Diracův impuls
1
p
F
t
t
f
jednotkový skok
p
p
F
1
0
0
0
t
t
e
t
f
at
a konstanta
a
p
p
F
1
0
0
0
t
t
t
t
f
lineárně narůstající signál
2
1
p
p
F
Pomocí těchto 4 základní přiřazení lze odvodit řadu dalších potřebných přiřazení.
Příklad 1.2:
Příklad výpočtu Laplaceovy transformace
Najděte Laplaceovu transformaci funkce
Signály a systémy
19
0
0
0
cos
t
t
t
A
t
f
.
Řešení: Jelikož víme, že platí
t
j
t
j
t
j
t
j
e
A
e
A
e
e
A
t
A
2
2
2
cos
potom
2
2
1
2
1
2
2
2
cos
p
p
A
j
p
A
j
p
A
e
A
e
A
t
A
t
j
t
j
L
L
L
kde jsme použili třetího řádku výše uvedené tabulky.
Laplaceova transformace má dvě důležité vlastnosti, které ji předurčují pro řešení
lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty.