2_Spojité_systémy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
První vlastností je její linearita, která vyplývá přímo z vlastnosti definičního integrálu.
Tato vlastnost znamená následující: Nechť jsou dány dvě funkce
t
f
t
f
2
1
,
a nechť dále známe
jejich Laplaceovy obrazy
p
F
p
F
2
1
,
. Dále nechť jsou dány dvě konstanty
2
1,
. Vytvořme
novou funkci
t
f
t
f
t
f
2
2
1
1
která je lineární kombinací obou předchozích a
hledejme její Laplaceův obraz
p
F
. Přímo z definičního integrálu Laplaceovy transformace
plyne
1
1
2
2
1 1
2
2
F p
f t
f t
f t
F p
F p
L
L
L
( 1.40 )
a tedy Laplaceův obraz lineární kombinace funkcí je lineární kombinace jejich Laplaceových
obrazů. Tento vztah snadno zobecníme pro více sčítanců. Bude-li
n
i
i
i
t
f
t
f
1
a
i
i
F p
f t
L
( 1.41 )
potom
1
n
i
i
i
F p
f t
F p
L
.
( 1.42 )
Druhá vlastnost, která bývá nazývána větou o obrazu derivace, je následující. Nechť je dána
funkce
t
f
a víme, že její obraz je
p
F
. Čemu se bude rovnat Laplaceův obraz derivace
funkce
t
f
? Přímo z definičního integrálu užitím integrace per partes obdržíme:
0
0
0
'
'
pt
pt
pt
pt
pt
u
e
u
pe
df t
df t
e
dt
f t e
p f t e
dt
df
dt
dt
v
v
f t
dt
L
a tedy
0
df t
f
pF p
dt
L
.
( 1.43 )
Bude-li počáteční hodnota funkce
t
f
nulová tj.
0
0
f
potom Laplaceův obraz derivace
funkce
t
f
lze získat tak, že její obraz
p
F
vynásobíme operátorem
p
20
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
df t
pF p
dt
L
.
( 1.44 )
Vícenásobnou integrací per partes lze ukázat, že pro Laplaceův obraz
n -té derivace funkce
t
f
platí
1
1
0
n
n
i
n
n i
n
i
d f t