3_Diskrétní_signály_a_systémy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
najít konečný počet (a to N ) těchto koeficientů, nabízí se sestavit N rovnic (každá rovnice
platí pro jeden časový okamžik k ) pro N neznámých koeficientů
0
2
1
1
0
2
2
2
0
2
1
1
0
2
0
0
...
0
0
N
N
j
N
N
j
N
j
N
j
e
c
e
c
e
c
e
c
f
k
( 1.44 )
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
0
0
...
1
1
N
N
j
N
N
j
N
j
N
j
e
c
e
c
e
c
e
c
f
k
.
.
.
.
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
0
0
...
1
1
N
N
N
j
N
N
N
j
N
N
j
N
N
j
e
c
e
c
e
c
e
c
N
f
N
k
.
Řešením této soustavy rovnic lze sice získat hledané koeficienty, ale existuje postup jednodušší,
založený na ortogonalitě diskrétních komplexních exponenciálních posloupností.
Ortogonalita diskrétních komplexních exponenciálních posloupností Jedná se o podobnou vlastnost, kterou jsme prokázali u spojitých komplexních exponenciálních
funkcí. V tomto spojitém případě byla ortogonalita spojitých komplexních exponenciálních
funkcí vyjádřena vztahem (symbol * označuje komplexně sdruženou hodnotu)
n
m
n
m
P
dt
e
dt
e
e
dt
t
t
P
t
t
t
n
m
j
P
t
t
t
jn
t
jm
P
t
t
n
m
O
O
0
0
0
0
0
0
0
0
*
( 1.45 )
který říká, že vzájemná energie dvou různých komplexních exponenciálních funkcí (
n
m
) je
nulová. Tento vztah nám umožnil elegantní nalezení koeficientů spojité Fourierovy řady.
26
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Postupujme obdobně i v tomto diskrétním případě. Počítejme analogický výraz pro komplexní
exponenciální posloupnosti
1
0
2
1
0
2
1
0
2
2
1
0
*
N
k
k
N
n
m
j
N
k
k
N
n
m
j
N
k
k
N
jn
k
N
jm
N
k
n
m
e
e
e
e
k
k
( 1.46 )
kde
1
,
0
,
N
n
m
a kde jsme poslední výraz upravili na tvar částečného součtu geometrické
řady, pro který platí
r
r
r
r
r
r
N
N
N
k
k
1
1
...
1
1
2
1
0
( 1.47 )
kde
N
n
m
j
e
r
2
. Použijeme-li nyní tento výsledek v rovnici ( 1.46 ) bude
1
,
0
,
1
1
1
1
2
2
2
2
1
0
*
N
n
m
e
e
e
e
k
k
N
n
m
j
n
m
j
N
n
m
j
N
N
n
m
j
N
k
n
m
( 1.48 )
Bude-li
n
m
bude
1
2
N
n
m
j
e
a
1
2
n
m
j
e
a hodnota posledního zlomku bude nulová.