3_Diskrétní_signály_a_systémy

k

N

jm

m

. 

Množina  koeficientů 

1

,...

1

,

0

,

N

m

c

m

  se  nazývá  diskrétní  frekvenční  spektrum  nebo  také 

čárové  frekvenční  spektrum  (discrete  frequency  spectrum,  line  frequency  spectrum)  signálu 

k

f

. Koeficienty 

m

c  jsou obecně komplexní čísla. Jejich amplitudy 

m

c  se nazývají diskrétní 

amplitudové spektrum (discrete amplitude spectrum) a jejich fáze 

m

c

arg

 se nazývají diskrétní 

fázové spektrum (discrete phase spectrum). Posloupnost koeficientů 

,..

2

,

1

,

0

,

m

c

m

je také 

periodická s periodou  N  tj. 

m

N

m

c

c

. 

5.  Výkon signálu v časové rovině je roven součtu výkonů jednotlivých frekvenčních složek 

1

0

2

1

0

2

1

N

m

m

N

k

c

k

f

N

. 

1.3.5  Cvičení ke kapitole 

1.  Uvažte množinu komplexních exponenciálních posloupností 

k

jm

m

e

k

8

2

. Kolik různých 

exponenciál obsahuje tato množina?. Načrtněte jejich průběhy. 
2.  Určete diskrétní Fourierovu řadu následujících periodických posloupností s periodou 

4

N

 a načrtněte jejich amplitudové a fázové spektrum. 

a) 

  0

3

,

0

2

,

1

1

,

1

0

f

f

f

f

32 

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 

b) 

  0

3

,

1

2

,

0

1

,

1

0

f

f

f

f

c) 

  1

3

,

0

2

,

0

1

,

1

0

f

f

f

f

d) 

  1

3

,

1

2

,

0

1

,

0

0

f

f

f

f

3.  Vyjádřete následující periodické posloupnosti jejich diskrétní Fourierovou řadou a 
načrtněte jejich amplitudové a fázové spektrum. 
a) 

k

1

,

0

sin

b) 

k

5

,

0

sin

c) 

k

k

2

cos

5

sin

d) 

3

/

2

cos

3

/

2

sin

k

k

1.3.6  Úlohy v MATLABu ke kapitole 

1.4  Analýza aperiodických signálů 

1.4.1  Motivace 

Stejně  jako  signály  se  spojitým  časem  (spojité  signály)  tak  i  signály  s diskrétním  časem 
(diskrétní signály) jsou ve skutečnosti neperiodické (aperiodické). Periodicita v matematickém 
smyslu  je  abstrakce-  byť  velmi  užitečná.  Viděli  jsme,  že  spektrální  představa  spojitých 
aperiodických  signálů  (tj.  Fourierova  transformace)  je  velmi  užitečným  nástrojem  analýzy 
těchto  signálů.  Proto  bude  naší  snahou  zachovat  tento  matematický  aparát  i  pro  diskrétní 
signály. V následující kapitole se pokusíme o totéž jako v kapitole o spojitých periodických 
signálech tj. vyjdeme z diskrétní Fourierovy řady a prodlužováním periody nade všechny meze 
zavedeme  tzv.  Fourierovu  transformaci  diskrétních  signálů  (discrete-  time  Fourier 
transform  DTFT)  Shledáme,  že  takto  získané  spektrum  posloupnosti  není  posloupnost 
jednotlivých  spektrálních  složek,  ale  je  to  funkce  kmitočtu  (kmitočet  se  mění  spojitě).  Je 
žádoucí  provádět  výpočty  spektra signálu  (analýzu signálu) na počítači,  ale v počítači  nelze 
pracovat se spojitě se měnící veličinou, ale jen s diskrétní množinou čísel (s diskrétní množinou 
kmitočtů). Proto je v další kapitole zavedena tzv. diskrétní Fourierova transformace (discrete 
Fourier  transform  DFT),  která  posloupnosti  konečné  délky  (vzorkům  časového  průběhu) 
přiřazuje opět posloupnost konečné délky (čárové frekvenční spektrum). V další kapitole pak 
bude  zmíněna  rychlá  varianta  této  transformace  tzv  rychlá  Fourierova  transformace  (Fast 
Fourier Transform FFT), zvláště vhodná pro výpočty na číslicovém počítači.