3_Diskrétní_signály_a_systémy

 ,

.  V tomto  intervalu  leží  nekonečně  mnoho  bodů  (frekvenčních 

složek).  Pokud  k výpočtu  spektra  použijeme  počítač  potom  musíme  vypočítat  spektrum  jen 
v konečném počtu bodů tohoto intervalu. Jestliže posloupnost 

k

f

 má délku 

N , je přirozené 

vypočítat  N  rovnoměrně rozložených vzorků v intervalu 

2

,

0

. Budou to body 

1

,...

1

,

0

2

N

m

N

m

m

( 1.83 ) 

Poslední  bod,  který  budeme  počítat  je  bod 

2

/

1

2

N

N

  neboť  interval 

2

,

0

nezahrnuje  bod 

2   (pokud  budeme  chtít  znát  spektrum  v rozsahu 

 ,

  získáme  ho 

periodickým  prodloužením,  neboť  spektrum 

F

  je  periodickou  funkcí  s periodou 

2 ). 

Definujme hodnoty spektra v diskrétních bodech kmitočtové osy jako 

1

,...

1

,

0

2

N

m

N

m

F

F

m

F

m

( 1.84 ) 

a dosaďme vztah ( 1.83 ) do vztahu ( 1.82 ). Bude 

1

,...

1

,

0

2

1

0

2

N

m

e

k

f

N

m

F

m

F

N

k

N

jmk

( 1.85 ) 

Poznamenejme,  že  index  k   v tomto  vztahu  označuje  časový  okamžik  a  index  m   označuje 
pořadové  číslo  diskrétní  frekvence.  Oba  indexy  se  mění  v rozsahu 

1

,

0

N

  a  nesmí  být 

zaměňovány. Rovnice ( 1.85 ) představuje přímou diskrétní Fourierovu transformaci DFT. 
Při odvození inverzní DFT vyjdeme z jejího definičního vztahu ( 1.77 ). Posloupnost 

k

f

 je 

v něm  určena  pomocí  integrálu  ze  spektra 

F

.  Nyní  ale  známe  toto  spektrum  jen 

v diskrétních  bodech 

1

,...

1

,

0

,

/

2

N

m

N

m

m

.  Aproximujme  proto  tento  integrál 

konečnou sumou. Bude 

N

e

F

d

e

F

k

f

N

m

N

jkm

m

k

j

2

2

1

2

1

1

0

2

2

0

( 1.86 ) 

kde  poslední  člen  na  pravé  straně  reprezentuje  diferenciál  kmitočtu  tj.