3_Diskrétní_signály_a_systémy

1.4.2  Fourierova transformace diskrétního signálu DTFT 

Při  analýze  spojitých  aperiodických  signálů  jsme  vyšli  z Fourierovy  řady  spojitého 
periodického signálu a prodlužováním periody tohoto signálu nade všechny meze jsme přešli 
k Fourierově  transformaci  spojitého  aperiodického  signálu.  Budeme  nyní  postupovat  stejně. 
Nechť je dána posloupnost obecně komplexních čísel 

1

,...

2

,

1

,

0

N

k

k

f

( 1.68 ) 

která je periodická s periodou  N . Diskrétní Fourierova řada tohoto periodického signálu je 

1

,...

2

,

1

,

0

1

0

2

N

k

e

c

k

f

N

m

k

N

jm

m

( 1.69 ) 

kde pro koeficienty této řady (komplexní amplitudy spektrálních složek) platí 

Signály a systémy 

33 

1

,...

2

,

1

,

0

1

1

0

2

N

m

e

k

f

N

c

N

k

k

N

jm

m

Jelikož  posloupnost 

k

f

  i  komplexní  exponenciála  jsou  periodické,  můžeme  v posledním 

výrazu sčítat  nejen od nuly, ale od libovolného indexu počínaje. Bude-li  např.  N  sudé, lze 
koeficienty také vyjádřit jako 

2

/2

/2 1

1

( )

0,1, 2,...

1

N

jm

k

N

m

k

N

c

f k e

m

N

N

( 1.70 ) 

Nyní provedeme limitní přechod 

N

. Nejprve ale označme 

N

m

2

( 1.71 ) 

Ze vztahu ( 1.70 ) je zřejmé, že pro 

N

 by hodnota koeficientů 

m

c  limitovala k nule. Proto 

(podobně jako ve spojitém případě) se budeme zajímat o N-násobky těchto koeficientů tj. o 
hodnoty 

m

Nc

F

( 1.72 ) 

Potom pomocí ( 1.71 ) a ( 1.72 ) obdržíme ze vztahu ( 1.70 ) 

/2

/2 1

( )

( )

N

j k

m

k

N

F

Nc

f k e

( 1.73 ) 

a rovnici ( 1.69 ) můžeme psát jako 

N

e

F

N

e

Nc

e

c

k

f

N

m

k

j

N

m

k

N

jm

m

N

m

k

N

jm

m

2

2

1

2

2

1

1

0

1

0

2

1

0

2

Poroste-li nyní 

N

 bude 

d

N 

/

2

 a suma přejde v integrál 

d

e

F

k

f

k

j

2

0

2

1

( 1.74 ) 

kde horní mez tohoto integrálu je 

2  neboť ze vztahu ( 1.73 ) je zřejmé, že funkce