3_Diskrétní_signály_a_systémy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Naopak, bude-li
n
m bude
1
2
0
2
N
j
N
n
m
j
e
e
a
1
02
2
j
n
m
j
e
e
a hodnota posledního
zlomku bude neurčitý výraz. Jeho hodnotu určíme l‘Hospitalovým pravidlem jako
N
e
N
j
e
j
e
e
N
jx
jx
x
N
jx
jx
x
2
2
0
2
2
0
2
2
lim
1
1
lim
( 1.49 )
Máme tedy konečný výsledek
1
,
0
,
0
1
0
*
N
n
m
n
m
n
m
N
k
k
N
k
n
m
( 1.50 )
který vyjadřuje ortogonalitu periodické komplexní exponenciální posloupnosti s periodou N .
Tento vztah je analogický vztahu, platnému pro periodické komplexní exponenciální funkce
s periodou
P .
Příklad 1.8
Ortogonalita
Prověřte ortogonalitu komplexní exponenciální posloupnosti s periodou
3
N
. Máme tedy
posloupnost
2
,
1
,
0
,
3
2
m
k
e
k
k
jm
m
a pro jednotlivé frekvenční složky bude platit
a
a
a
e
e
e
e
k
j
j
j
k
j
,
,
1
,
1
,
1
,
,
2
3
2
0
1
3
2
0
0
3
2
0
3
2
0
0
c
b
a
e
e
e
e
e
e
k
j
j
j
j
j
k
j
,
,
,
,
1
,
,
3
4
3
2
2
3
2
1
1
3
2
1
0
3
2
1
3
2
1
1
b
c
a
e
e
e
e
e
e
k
j
j
j
j
j
k
j
,
,
,
,
1
,
,
3
8
3
4
2
3
2
2
1
3
2
2
0
3
2
2
3
2
2
2
kde jsme označili
3
/
4
3
/
2
,
,
1
j
j
e
c
e
b
a
. Tato komplexní čísla jsou ukázána na Obr. 1-25.
Je zřejmé, že platí
1
*
aa
,
1
*
bb
,
1
*
cc
,
b
c
*
,
c
b
*
,
1
*
*
c
b
c
b
,
c
bb ,
b
cc . Máme tedy
Signály a systémy
27
3
1
1
1
*
*
*
*
0
2
0
0
aa
aa
aa
k
k
k
3
1
1
1
*
*
*
*
1
2
0
1
cc
bb
aa
k
k
k
3
1
1
1
*
*
*
*
2
2
0
2
bb
cc
aa
k
k
k
0
1
1
1
*
*
*
*
*
*
1
2
0
0
c
b
ac
ab
aa
k
k
k
0
1
1
1
*
*
*
*
*
*
2
2
0
0
b
c
ab
ac
aa
k
k
k
0
1
1
1
1
*
*
*
*
2
2
0
1
b
c
cc
bb
cb
bc
aa
k
k
k
k=0
0
Im
Re
k=1
k=1
k=2
k=2
Im
Re
Im
Re
k=0,1,2,
a
a
a
b
b
c
c
k
k
k
Obr. 1-25:
Ortogonalita N=3
Určení koeficientů diskrétní Fourierovy řady Vlastnosti ortogonality lze s výhodou využít pro jednoduché určení koeficientů diskrétní
Fourierovy řady. Vyjděme ze vztahu ( 1.38 )
1
,...
2
,
1
,
0
1
0
2
N
k
e
c
k
f
N
m
k
N
jm
m
( 1.51 )
a vynásobme obě strany této rovnice exponenciálou
k
N
jn
e
2
a sečtěme přes všechna
1
,
0
N
k
. Bude
1
0
1
0
1
0
2
1
0
2
2
1
0
2
N
k
N
m
N
k
k
N
n
m
j
m
N
m
k
N
jm
m
k
N
jn
N
k
k
N
jn
e
c
e
c
e
e
k
f
( 1.52 )