3_Diskrétní_signály_a_systémy

Ještě jiný pohled na komplexní periodickou posloupnost lze ukázat na Obr. 1-24. V komplexní 
rovině rotuje jednotkový vektor  s kruhovou frekvencí 
 

0,6,12,..

Im

Re

2,8,14,..

3,9,15,..

11,23,..

m=0

m=2

1,7,13,..

4,10,16,...

5,11,17,...

0,4,8,12,..

Im

Re

1,5,9,13,..

3,7,11,15,..

m=0

m=3

2,6,10,14,..

0,2,4,6,..

Im

Re

m=0

m=6

1,3,5,7,...

0,4,8,12,..

Im

Re

3,7,11,15,...

1,5,9,13,...

m=0

m=9

2,6,10,14,...

0,12,..

Im

Re

2,14,...

3,15,..

9,21,..

10,22,..

11,23,..

m=0

m=1

1,13,..

4,16,...

5,17,...

6,18,..

7,19,..

8,20,..

0,12,..

Im

Re

10,22,...

9,21,..

3,15,..

2,14,..

1,13,..

m=0

m=11

11,23,..

8,20,...

7,19,...

6,18,..

5,17,..

4,16,..

0,3,6,9,12,...

Im

Re

3,15,..

m=0

m=4

1,4,7,
10,13,...

2,5,8,
11,14,...

0,6,12,..

Im

Re

5,11,17,...

1,7,13,...

m=0

m=10

4,10,16,...

3,9,15,...

2,8,14,...

0,12,

Im

Re

3,15,...

2,14,...

m=0

m=5

1,13,...

4,16,...

5,17,...

6,18,,...

7,19,...

8,20,...

9,21,...

10,22,...

11,23,...

0,12,..

Im

Re

m=0

m=7

1,13,...

2,14,...

3,15,...

4,16,...

5,17,...

6,18,...

7,19,...

8,20,...

9,21,...

10,22,...

11,23,...

0,3,6,9,
12,15,..

Im

Re

m=0

m=8

1,4,7,
10,13,...

2,5,8,
11,14,...

Im

m=12

0,1,2,...

Re

m=0

Im

Re

0,1,2,...

 
Obr. 1-24: 

Komplexní exponenciální posloupnost jako poloha vektoru

Signály a systémy 

25 

,...

2

,

1

,

0

2

m

N

m

( 1.40 ) 

a poloha vektoru je snímána v pravidelných okamžicích 

,...

2

,

1

,

0

k

. V případě ukázaném na 

obrázku je 

12

N

. Ze vztahu ( 1.39 ) a i z obou obrázků je zřejmé, že existuje právě  N  různých 

funkcí 

1

,...

2

,

1

,

0

2

sin

2

cos

2

N

m

k

N

m

j

k

N

m

e

k

k

N

jm

m

( 1.41 ) 

neboť 

 ,...

,

1

1

0

k

k

k

k

N

N

.  Proto  můžeme  periodickou  posloupnost 

k

f

s periodou  N  vyjádřit jako součet konečné řady 

1

,...

2

,

1

,

0

1

0

2

1

0

N

k

e

c

k

c

k

f

N

m

k

N

jm

m

N

m

m

m

( 1.42 ) 

která se nazývá diskrétní Fourierova řada.( discrete- time Fourier series) Tato řada vyjadřuje 
periodickou posloupnost 

k

f

 jako lineární kombinaci komplexních exponenciálních signálů 

1

,...

2

,

1

,

0

2

sin

2

cos

2

N

m

k

N

m

j

k

N

m

e

k

k

N

jm

m

( 1.43 ) 

Koeficienty 

m

c   představují  amplitudy  (mohou  to  být  i  komplexní  čísla)  jednotlivých 

komplexních exponenciálních signálů 

k

m

. 

Úlohou analýzy je právě nalézt amplitudy 

m

c  jednotlivých frekvenčních složek. Jelikož máme