3_Diskrétní_signály_a_systémy

 ...

2

N

k

f

N

k

f

k

f

( 1.96 ) 

Tedy  ačkoliv  je  DFT  definována  pro  neperiodickou  posloupnost 

k

f

,  lze  ji  použít  i  pro 

periodickou  posloupnost.  Periodickou  posloupnost  budeme  v dalším  označovat  symbolem 

s vlnovkou např. 

k

f

~

. 

Toto je situace velmi podobná jako u diskrétní Fourierovy řady. Jaký je tedy vlastně rozdíl mezi 
diskrétní  Fourierovou  řadou  a  diskrétní  Fourierovou  transformací  DFT?  Pro  diskrétní 
Fourierovu řadu a její koeficienty jsme našli dvojici vztahů 

1

,...

1

,

0

1

0

2

N

k

e

c

k

f

N

m

k

N

jm

m

( 1.97 ) 

1

,...

1

,

0

1

1

0

2

N

m

e

k

f

N

c

N

k

k

N

jm

m

( 1.98 ) 

Srovnáme-li ( 1.98 ) s ( 1.89 ) vidíme, že 

m

Nc

m

F

. Odtud plyne 

  N

m

F

c

m

/

 a dosadíme-

li toto do ( 1.97 ) obdržíme vztah ( 1.90 ) pro inverzní DFT. Je tedy DFT v podstatě stejná jako 
diskrétní Fourierova řada a vzájemně se liší pouze konstantou. 

Signály a systémy 

39 

Linearita.  Nechť  jsou  dány  dva  diskrétní  signály 

k

s

k

s

2

1

,

,  jejichž spektra  označme  jako 

k

s

m

S

k

s

m

S

2

2

1

1

,

D

D

 a dále nechť jsou dána dvě čísla (obecně komplexní) 

2

1,

. Vytvořme nový signál 

k

s

k

s

2

2

1

1

. Pro jeho spektrum pak bude platit 

m

S

m

S

k

s

k

s

k

s

k

s

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

D

D

D

( 1.99 ) 

Tento vztah snadno dokážeme z definičního vztahu pro DFT. 
Posunuti v čase. Je dán signál periodický signál 

k

s~

 jehož spektrum je 

k

s

m

S

D

. Potom 

pro spektrum posunutého signálu 

r

k

s

~

 platí 

jmr

s k

r

e

S m

D

( 1.100 ) 

Posunutí v kmitočtu. Je dán signál periodický signál 

k

s~

 jehož spektrum je 

k

s

m

S

D

. 

Potom pro signál, jehož spektrum je posunuto o  r  Platí 

r

m

S

e

k

s

jkr

~

D

( 1.101 ) 

1.4.4  Rychlá Fourierova transformace FFT 

Při výpočtu spektra