Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Řešení 4.3.01: a)
Není určen jednoznačně, chybí údaj o zesílení 𝐾.
b)
𝐹(𝑝) =
𝐾
𝑝(𝑝 + 1)
c)
Jeden pól leží v nule (tj. na imaginární ose) - systém je na mezi stability.
d)
𝑔(𝑡) =-1{𝐹(𝑝)} =-1{
𝐾
𝑝(𝑝+1)
} =-1{
𝐾
𝑝
−
𝐾
𝑝+1
} = 𝐾(1 − 𝑒−𝑡) 𝑝𝑟𝑜 𝑡 > 0
Příklad 4.3.02: Spojitý lineární systém má dva póly 𝑝1 = −2, 𝑝2 = −1 a jednu nulu 𝑛1 = 0 a jeho
operátorový přenos má koeficient u nejvyšší mocniny čitatele roven 20 a koeficient u
nejvyšší mocniny jmenovatele roven1.
a) Napište jeho operátorový přenos.
b) Napište jeho diferenciální rovnici.
c) Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku v logaritmických souřadnicích.
Vyznačte sklony asymptot a ocejchujte osy.
d) Vypočtěte a načrtněte přechodovou charakteristiku.
Řešení 4.3.02: a)
𝐹(𝑝) =
20
1
𝑝
(𝑝 + 1)(𝑝 + 2)
=
20𝑝
𝑝2 + 3𝑝 + 2
b)
𝑦′′(𝑡) + 3𝑦′(𝑡) + 2𝑦(𝑡) = 20𝑢′(𝑡)
c)
Upravíme přenos na tvar
𝐹(𝑝) =
20𝑝
(𝑝 + 1)(𝑝 + 2)
=
20𝑝
2(𝑝 + 1)(0,5𝑝 + 1)
=
𝐾𝑝
(𝑇1𝑝 + 1)(𝑇2𝑝 + 1)
kde
𝐾 = 10, 𝑇1 = 1, 𝑇2 = 0,5. Určíme frekvenční přenos systému. Bude
u(t)= (t)
d
t
0
g(t)
g(t)
K
1
68
FEKT VUT v Brně
𝐹(𝑗𝜔) =
𝐾𝜔
√𝑇1
2𝜔2 + 1√𝑇
2
2𝜔2 + 1
𝑒
𝑗(
𝜋
2
−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑇1𝜔−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑇2𝜔)
=
10𝜔
√𝜔2 + 1√0,25𝜔2 + 1
𝑒
𝑗(
𝜋
2
−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝜔−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0,5𝜔)
d)
Pro přechodovou charakteristiku platí
ℎ(𝑡) =-1{
1
𝑝
𝐹(𝑝)} =-1{
1
𝑝
20𝑝
(𝑝+1)(𝑝+2)
} =-1{
20
(𝑝+1)(𝑝+2)
}
Rozkladem na parciální zlomky obdržíme:
ℎ(𝑡) =-1{
20
(𝑝+1)
−
20
(𝑝+2)
} = 20(𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡)
Platí ℎ(0) = 0, ℎ(∞) = 0 a přechodová charakteristika je nekmitavá (systém nemá
komplexní póly).
O tom, že je přechodová charakteristika nekmitavá se lze přesvědčit i nalezením jejich
extrémů. Platí ℎ′(𝑡) =