Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
u(t)
y(t)
F (p)=
1
1
1
T p-1
K
F (p)=
2
2
2
T p+1
K
62
FEKT VUT v Brně
b) Sestavte diferenciální rovnici systému.
c) Načrtněte amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku systému v logaritmických
souřadnicích.
Řešení 4.2.08: a)
Platí 𝑦(0) = 0, 𝑦(∞) = 0 a pro derivaci platí:
𝑦′(𝑡) =
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡)
𝑑𝑡
= −𝑒−𝑡 + 2𝑒−2𝑡
Extrémy jsou v bodech, které splňují rovnici
−𝑒−𝑡 + 2𝑒−2𝑡 = 0 ⇒ 2𝑒−2𝑡 = 𝑒−𝑡 ⇒ 2𝑒−𝑡 = 1 ⇒ ln2 − 𝑡 = 0 ⇒
𝑡 = ln2
Extrém je tedy jen jeden a funkce v něm nabývá hodnoty
[𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡]𝑡=ln2 = 𝑒−ln2 − 𝑒−2ln2 = (𝑒ln2)
−1
− (𝑒ln2)
−2
= (2)−1 − (2)−2
= 1/2 − 1/4 = 1/4 > 0
Pro směrnici tečny v bodě 𝑡 = 0 platí: 𝑦′(0) = [−𝑒−𝑡 + 2𝑒−2𝑡]𝑡=0 = −1 + 2 = 1
b)
Pro Laplaceův obraz vstupního a výstupního signálu platí:
𝑈(𝑝) ={𝑢(𝑡)} ={𝑒−𝑡} =
1
𝑝+1
𝑌(𝑝) ={𝑦(𝑡)} ={𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡} =
1
𝑝+1
−
1
𝑝+2
Pro operátorový přenos systému platí
𝐹(𝑝) =
𝑌(𝑝)
𝑈(𝑝)
=
1
𝑝+1
−
1
𝑝+2
1
𝑝+1
= 1 −
𝑝+1
𝑝+2
=
𝑝+2−𝑝−1
𝑝+2
=
1
𝑝+2
=
0,5
0,5𝑝+1
.
Pro diferenciální rovnici systému platí: 𝑦′(𝑡) + 2𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)
c)
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích:
Příklad 4.2.09: Spojitý lineární systém má operátorový přenos 𝐹(𝑝) =
10
𝑝2+3𝑝+2
.
a) Určete diferenciální rovnici systému.
b) Načrtněte amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku v logaritmických
souřadnicích. Vyznačte zlomové body a sklony asymptot.
c) Rozhodněte o stabilitě systému.
t
y(t)
0
ln2
1/
logw
1
dB
0
/dek
F( )