2_Spojité_systémy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
dV v jednotlivých nádržích za čas
dt lze psát
Signály a systémy
9
dt
R
t
y
t
y
t
q
t
dy
S
dV
1
2
1
1
1
1
1
( 1.15 )
dt
R
t
y
R
t
y
t
y
t
dy
S
dV
2
2
1
2
1
2
2
2
.
( 1.16 )
Z těchto dvou rovnic vydělením dt snadno získáme soustavu dvou diferenciálních rovnic
prvního řádu
1
2
1
1
1
1
R
t
y
t
y
t
q
dt
t
dy
S
( 1.17 )
2
1
2
2
1
1
2
1
1
dy t
y t
S
y t
dt
R
R
R
.
( 1.18 )
Z těchto rovnic vyloučením hladiny v první nádrži tj. dosazením za
1
y z druhé rovnice do první
(hladina v první nádrži nás nezajímá, zajímá nás výstup tj. hladina ve druhé nádrži), získáme
pro hladinu ve druhé nádrži diferenciální rovnici druhého řádu
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
d y t
dy t
R
R
S S R
S
S
y t
q t
dt
R
dt
R
( 1.19 )
se dvěma počátečními podmínkami
0
2
y
a
0
1
2
y
. První počáteční podmínka určuje hladinu
ve druhé nádrži na počátku děje. Druhá počáteční podmínka definuje počáteční hladinu v první
nádrži, neboť pro tuto počáteční hladinu platí
0
0
0
2
2
2
1
1
2
2
1
1
y
R
R
R
y
S
R
y
( 1.20 )
což vyplývá z druhé výše zmíněné diferenciální rovnice. Systém má dva akumulátory energie
a je popsán lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty (tzv. vnější
popis) nebo dvěma rovnicemi prvního řádu (tzv. vnitřní popis).
Mechanický systém Doplňme původní jednoduchý mechanický systém ještě hmotností
kg
m
tak, jak ukazuje Obr.
1-2 (do této hmotnosti můžeme zahrnout i zatím zanedbanou hmotnost pístu případně pružiny).
Systém má nyní dva akumulátory mechanické energie a to potenciální (pružina) a kinetické
(pohybující se hmota). Do rovnováhy sil přibude ještě setrvačná síla, která je rovna
2
2
/ dt
t
y
md
. Pro rovnováhu sil bude nyní platit