2_Spojité_systémy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Signály a systémy
13
1.2.2 Linearita a její důsledky
V úvodních příkladech jsme viděli, že systém je matematicky popsán obyčejnou diferenciální
rovnicí
0
,
,
,
,...
,
1
1
t
u
y
y
y
y
F
n
n
( 1.33 )
kde
F je v obecném případě nějaká nelineární funkce. Je-li ale
F lineární funkce tj. lineární
kombinace patřičných derivací, jedná se o lineární diferenciální rovnici a takový systém se
potom nazývá lineární systém (linear system).
Důsledky linearity ukážeme na příkladu. Předpokládejme, že máme dán nějaký spojitý systém
2. řádu, popsaný lineární diferenciální rovnicí
t
u
b
t
y
a
dt
t
dy
a
dt
t
y
d
a
0
0
1
2
2
2
.
Nechť na vstup tohoto systému působí signál
t
u
1
. Označme odezvu systému na tento signál
(jeho výstup) jako
t
y
1
. Platí:
t
u
b
t
y
a
dt
t
dy
a
dt
t
y
d
a
1
0
1
0
1
1
2
1
2
2
.
Nechť
2
1,
jsou nějaká reálná čísla. Je zřejmé, že bude-li na vstup systému působit signál
t
u
1
1
bude odezva systému na tento signál rovna
t
y
1
1
neboť (vynásobíme-li předchozí
rovnici číslem
1
) bude
t
u
b
t
y
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
1
1
0
1
1
0
1
1
1
2
1
1
2
2
.
Nechť na vstup tohoto systému působí jiný signál
t
u
2
2
. Označme odezvu systému na tento
signál (jeho výstup) jako
t
y
2
2
. Platí:
t
u
b
t
y
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
2
2
0
2
2
0
2
2
1
2
2
2
2
2
.
Vytvořme nový signál
t
u
t
u
t
u
2
2
1
1
a nechť tento nový signál působí na vstup
systému. Jaká bude nyní odezva tj. výstup systému
t
y
? Sečtěme levé i pravé strany
posledních dvou rovnic a po malé úpravě obdržíme rovnici
t
u
t
u
b
t
y
t
y
a
dt
t
y
t
y
d
a
dt
t
y
t
y