Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
𝜋
2
d)
Příklad 5.1.12: Je dán diskrétní signál 𝑓(𝑘) = 4 ∑
𝛿(𝑘 + 1 − 4𝑖)
+∞
𝑖=−∞
, 𝑘 ∈ (−∞, +∞).
a) Načrtněte tento signál pro
𝑘 = 0,1,2, . . . ,12.
b) Je tento signál periodický? Pokud ano, určete periodu.
c) Vypočtěte jeho spektrum.
d) Načrtněte amplitudové a fázové spektrum pro
𝑚 = 0,1,2,3.
Řešení 5.1.12: a)
b)
Z obrázku je patrno, že signál je periodický s periodou
𝑁 = 4.
c)
Pro výpočet koeficientů diskrétní Fourierovy řady platí
𝑐𝑚 =
1
4
∑
𝑓(𝑘)𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
4
𝑘
3
𝑘=0
𝑚 = 0,1,2,3.
Jelikož 𝑓(0) = 𝑓(1) = 𝑓(2) = 0, 𝑓(3) = 4 bude
f( )
k
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
m
0
1
2
3
1
c m
m
0
1
2
3
c
m
arg
p
-
p
+
0
p
+ /2
p
- /2
f( )
k
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
BSAS – sbírka příkladů
101
𝑐𝑚 =
1
4
𝑓(3)𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
4
3 = 𝑒−𝑗𝑚
𝜋
2
3 𝑚 = 0,1,2,3
𝑐0 = +1 |𝑐0| = 1 arg𝑐0 = 0
𝑐1 = +𝑗
|𝑐1| = 1 arg𝑐1 = 𝜋/2
𝑐2 = −1 |𝑐2| = 1 arg𝑐2 = −𝜋
𝑐3 = −𝑗
|𝑐3| = 1 arg𝑐3 = −𝜋/2
d)
Příklad 5.1.13: Je dán spojitý signál 𝑓(𝑡) = 4sin(𝜔0𝑡) + 2[cos2(𝜔0𝑡) − sin2(𝜔0𝑡)], kde 𝑡 ∈ (−∞, +∞), 𝑇 > 0.
a) Ukažte, že je signál periodický.
b) Určete jeho maximální kmitočet ve spektru
𝜔max. Určete, jaký musí být minimální
vzorkovací kmitočet 𝜔𝑠min.
c) Zvolte vzorkovací kmitočet
𝜔𝑠tak, aby poměr periody maximálního kmitočtu ve spektru
𝜔max a periody vzorkování byl roven 6. Kolik vzorků bude v jedné periodě základní
harmonické signálu 𝑓(𝑡)?
d) Vypočtěte amplitudové a fázové spektrum signálu
𝑓(𝑡).
e) Načrtněte amplitudové a fázové spektrum signálu pro
𝑚 = −2, −1,0,1,2, . . .14.
Řešení 5.1.13: a)
Pro signál platí: 𝑓(𝑡) = 4sin(𝜔0𝑡) + 2[cos2(𝜔0𝑡) − sin2(𝜔0𝑡)] = 4sin(𝜔0𝑡) +
2cos(2𝜔0𝑡)
Signál má 2 složky. První složka má kmitočet 𝜔0 a je periodická s periodou 𝑇1 = 2𝜋/𝜔0.
Druhá složka má kmitočet 2𝜔0 a je periodická s periodou 𝑇2 = 2𝜋/(2𝜔0) = 𝜋/𝜔0.
Poměr těchto period 𝑇1/𝑇2 = 2 je racionální číslo, proto je signál 𝑓(𝑡)periodický.